Derivada primera: Recta tangente a una curva en un punto
El valor numérico de la derivada de una función en un punto perteneciente a dicha función da como resultado el valor de la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
Gráfica de la curva, la recta tangente a la curva y su pendiente
m = Δy/Δx ⇒ m = tg α
y2' = f'(x)
Pero y2' en a:
tg α = f'(a) ⇒ m = f'(a)
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a, es:
y1 = f'(a)·x + b
Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente a la curva) y la curva.
Casos de aplicación:
1) Dado el punto P(a; ya), hallar la ecuación de la recta tangente
a) Derivar la función de la curva.
y2' = f'(x)
b) Reemplazar en la derivada x por el valor a.
y2' = f'(a)
c) El resultado es la pendiente m.
m = f'(a)
d) Armar la ecuación de la recta con m y el punto dado.
y1 = m·(x - a) + ya
2) Dadas las ecuaciones de la recta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la curva
a) Se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra igualando las funciones.
y1 = y2 ⇒ m·x + b = f(x)
b) Despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a
c) Con el valor de x reemplazar en y1 ó y2 para hallar ya
d) El punto de intersección será:
P(a; ya)
e) Derivar la función de la curva.
y2' = f'(x)
f) Reemplazar en la derivada x por el valor a.
y2' = f'(a)
g) Verificar que f'(a) sea igual a m.
y2' = m
3) Dada una recta cualquiera (y = m3·x + b3), hallar la recta tangente paralela a una curva
a) La pendiente de esta recta (m3) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m1).
m3 = m1
b) Además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de intersección.
m3 = f'(a) ⇒ m3 = f'(x)
c) Despejar el x = a
d) Con el valor de x reemplazar en y2 para hallar ya
e) El punto de intersección será:
P(a; ya)
f) Armar la ecuación de la recta tangente con m3 y el punto hallado.
y1 = m3·(x - a) + ya
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
¿Qué representa la pendiente de una curva? ¿Qué es la recta tangente a una curva en un punto?