Análisis Matemático

Derivadas: Estudio de función. Positividad y negatividad. Continuidad. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Concavidad.

Estudio de función

Sea y = f(x)

1. Dominio:

2. Paridad:

para f(x) = f(-x) es par

para f(x) = -f(-x) es impar

3. Signo:

para f(x) > 0 es positiva → positividad = (, )

para f(x) < 0 es negativa → negatividad = (, )

4. Intersección con eje x : (raíces)

para y = 0

5. Intersección con eje y:

para x = 0

6. Continuidad:

lim f(x) = f(a) es continua → a es un punto crítico y finito

x → a

- de salto: L+ ≠ L‾ finitos

- punto de infinito: L+ = ∞ó L‾ = ∞

- esencial : L+ ó L‾ no existe

- evitable:

L =

lim f(x) ≠ f(a) se salva escribiendo y = f(x) para x ≠ a y L para x = a

x → a

Indeterminaciones:

∞- ∞,0 x ∞,1, ∞°

0/0 y ∞/∞(aplicar L´hospital)

7. Asíntotas:

- vertical en x = a:

lim f(x) = ∞ → a es un valor finito y punto crítico

x → a

- oblicua en y = m.x + b:

m =

lim

f(x) → si m = 0 ó ∞ no tiene asíntota oblicua

x→ ∞

x

 

b =

lim [f(x) - m.x]

x→ ∞

- horizontal en y = b:

AH =

lim f(x)

x→ ∞

si alguno de los límites no existe no existirá esa asíntota.

8. Crecimiento y decrecimiento:

y´ > 0 crece → crecimiento = (,)

y´ < 0 decrece → decrecimiento = ( ,)

9. Máximos y mínimos:

y´ = 0 dará valores en x

x1 luego hacer y1 = f(x1) mínimo si cambia de decrecimiento a crecimiento

x2 luego hacer y2 = f(x2) máximo si cambia de crecimiento a decrecimiento

m: (x1;y1)

M: (x2;y2)

Si y´ ≠ 0 ⇒no cambia el crecimiento, no tiene máx. ni mín.

10. Concavidad:

y" > 0 ⇒ cóncava hacia arriba = (,)

y" < 0 ⇒ cóncava hacia abajo = (,)

11. Punto de inflexión:

y" = 0 ⇒x1 = p ⇒y1 = f(p) si cambia la concavidad.

P.I.: (x1;y1)

Si y" ≠ 0 ⇒no cambia la concavidad, no tiene pto. de inflexión.

12. Gráfica:

Recta tangente a una curva

Caso 1:

Sea la curva y = f(x) ∧P (x1;y1) un punto perteneciente a la curva

La recta tangente será: yt = m.x + b

m es la pendiente

b la ordenada al origen

f´(x1) = m

Para generar la ecuación de la recta tangente se puede proceder:

yt = m.(x - x1) + y1

Caso 2:

Sea la curva y = f(x) ∧la recta tangente yt = m.x + b, hallar el punto de tangencia:

f´(x1) = m, despejar x1 y luego hacer y1 =f(x1)

luego:

punto de tangencia P (x1;y1)

Editor: Fisicanet ®

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