Análisis Matemático

Derivadas: Derivadas de las funciones más usuales. Cálculo integral. (Segunda parte)

DERIVADA DE UNA FUNCION (Continuación)

<<< PRIMERA PARTE

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

f: l → R,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

g: f(l) → R,

entonces la función compuesta

g o f: l → f(l) → R,

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

(g o f)´(x) = g´[f(x)].f´(x)

Ejemplo: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

Resolución:

- la función sen x² es una función compuesta de otras dos f(x) = x² y g(x) = sen x.

f
-- →

g
-- →

En efecto, (g o f) (x) = g[f(x)] = g(x²) = senx²

- Al ser g(x) = sen x, g´(x) = cos x, por tanto g´[ f(x)] = cos f(x) = cos x²

f(x) = x² ⇒ f´(x) = 2.x

- Por la regla de la cadena,

h´(x) = g´[f(x)] · f´(x) = 2.x.cos x²

2) Derivar la función h(x) = [(x² + 1)/x]³

Resolución:

h(x) es una función compuesta de f(x) = (x² + 1)/x y g(x) = x³

(Se ha de suponer que x ≠ 0 porque para este valor la función no está definida)

f
--{0} →

g
-- →

x

-- →

(x² + 1)/x

-- →

[(x² + 1)/x]³

(g o f)(x) = g[f(x)] = g[(x² + 1)/x] = [(x² + 1)/x]³

- De g(x) = x³, se deduce g´(x) = 3x². En consecuencia,

g´[f(x)] = 3.f(x)² = 3.[(x² + 1)/x]²

Por otro lado,

f´(x) = [2.x.x - (x² + 1).1]/x² = (2.x² - x² - 1)/x²

- Por la regla de la cadena,

{[(x² + 1)/x]³}´ = 3.[(x² + 1)/x]².[(x² - 1)/x²]

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f´(x) = m.xm - 1.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x),la derivada de u(x)m

x → u(x) → u(x)m

aplicando la regla de la cadena, será:

[u(x)m]´ = m · u(x)m - 1 · u´(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

Si f(x) = um ⇒ f´(x) = (um)´ = m.um - 1.u´

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de f(x) = (x² + 1)³.

Resolución:

- Si u = x² + 1, u´ = 2x

En este caso m = 3

- f´(x) = 3 (x² + 1)² · 2 x = 6x (x² + 1)²

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

(ln |u|)´ = u´/u

Ejercicio: cálculo de derivadas

1) Calcular la derivada de f(x) = ln [(x² + 1)x²]

Resolución:

Se toma u = (x² + 1)/x²

- Se calcula u´ aplicando la derivada de un cociente:

u´ = [2.x.x² - (x² + 1).2.x]/x4 = -2.x/x4 = -2/x³

- Se aplica la regla de la cadena:

DERIVADA DE UNA FUNCION

Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

Resolución:

- u = sen x; u´ = cos x

f´(x) = (ln |sen x|)´ = u´/u = cos x/sen x = cotg x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x),por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,

f´(x) = (au)´ = u´ · au · ln a

g´(x) = (eu)´ = u´ · eu

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x

Resolución:

- Llamando u = x.sen x, u´ = 1 · sen x + x cos x

f´(x) = (4x sen x)´ = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4

2) Calcular la derivada de g(x) = e-x²

Resolución:

Si u = -x², u´ = -2.x, g´(x) = (e-x²)´ = -2.x.e-x²

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

x → u(x) → sen u(x) (sen u)´ = u´.cos u

x → u(x) → cos u(x) (cos u)´ =-u´.sen u

x → u(x) → tg u(x) (tg u)´ = (1 + tg² u).u´ = u´/cos² u = u´.sec² u

x → u(x) → sec u(x) (sec u)´ = u´.sec u.tg u

x → u(x) → cosec u(x) (cosec u)´ =-u´.cosec u.cotg u

x → u(x) → cotg u(x) (cotg u)´ = -u´.(1 + cotg² u) = -u´/sen² u

Ejercicio: cálcular la derivada

Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

Resolución:

- Si u = sen x, u´ = cos x

f´(x) = (sen(sen x))´ = u´ · cos u = cos x.cos (sen x)

Hallar la derivada de g(x) = sec (x² - 1)

Resolución:

- u = x² - 1; u´ = 2x

- g´(x) = (sec(x² - 1 ))´ = u´ · sec u · tg u = 2x · sec(x² - 1 ).tg(x² - 1)

Calcular la derivada de h(x) = sen³x²

Resolución:

- Llamando u = sen x², hay que derivar sen³ x² = u³.

- Por la regla de la cadena, la derivada de u³ es (u³)´ = 3 · u² · u´

Llamando v = x²; u = sen v.

u´ = v´ · cos v = 2.x.cos x²

- Finalmente, h´(x) = (sen³x²)´ = 3u² · u´ = 3 · sen²x² · 2x.cos x² = 6x · sen²x² · cos x²

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado,aunque se evita hacer su demostración.

Derivada de la función inversa

Si una función y = f(x) admite una función inversa ƒ- 1 y la función f(x) es derivable en un punto x0,entonces la función ƒ-1 es derivable en el punto f(x0).

En virtud de este teorema, la función x1/n es derivable por ser la función inversa de xn:

x → xn → (xn)1/n = x

Como consecuencia, al ser la función xm derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la función xm/n es derivable por ser composición de dos funciones derivables:

x → xm → xm/n

Derivada de la función x1/n

Sea u = x1/n; elevando a n, un = x.

Derivando ambos miembros se observa que

(un)´ = n.un - 1
x´ = 1

⇒ n.un - 1.u´ = 1

Despejando u´,

DERIVADA DE UNA FUNCION
En particular, la derivada de la función f(x) = √x es (x1/2)´ = 1/(2.x1/2) = 1/(2.√x)

Derivada de la función xm/n

Sea f(x) = xm/n

Se eleva a n, f(x)n = xm

Se deriva:

n.f(x)n - 1.f´(x) = m.xm - 1

Pero f(x)n - 1 = (xm/n)n - 1

Despejando f(x),

DERIVADA DE UNA FUNCION

Regla de la cadena para las funciones u1/n y um/n

Si en las dos funciones anteriores se tiene una función dependiente de la variable x,u(x), en lugar de la función x, se obtienen las siguientes derivadas:

DERIVADA DE UNA FUNCION

Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena.

Ejercicio: cálculo de derivadas

1) ¿Cuál es la función derivada de f(x) = √x² + sen x

Resolución:

- Se escribe la raíz en forma de potencia: √x² + sen x = (x² + sen x)1/2

- Se trata de calcular una derivada de la forma u1/2.

Si u = x² + sen x, u´ = 2x + cos x

- Obsérvese que en este caso n = 2

DERIVADA DE UNA FUNCION

Resolución:

- Se escribe la raíz en forma de potencia:

DERIVADA DE UNA FUNCION

Se aplica la fórmula DERIVADA DE UNA FUNCION

DERIVADA DE UNA FUNCION

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

La función sen x definida en [- π /2, π /2] toma todos los valores del intervalo [-1, 1] una sola vez, es decir, dos números distintos de [- π /2, π /2] alcanzan valores distintos en [- 1, 1].

Esto quiere decir que existe una aplicación biyectiva de [- π /2, π /2] a [-1, 1] mediante la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.

Así,

DERIVADA DE UNA FUNCION

x ——→ f (x) = sen x ——→ f-1 [f (x)] = f-1 (sen x) = arc sen (sen x) = x

Derivada de la función arc sen x

Si y = arc sen x = f-1(x),aplicando f, f(y) = f(f-1(x)) = x, es decir, sen y = x.

Derivando respecto a x, por la regla de la cadena, y´.cos y = 1 ó y´ = 1/cos y

De la conocida fórmula sen² y + cos² y = 1, cos² y = 1 - sen² y⇒ cos y = ±1 - sen² y

pero en el intervalo [- π /2, π /2] la función cos y es positiva, por lo que cos y = √1 - sen² y
por último, y puesto que sen y = x, cos y = √1 - x²

llevando este resultado a la expresión y´, y´ = 1/√1 - x²
si h(x) = arc sen x⇒ h´(x) = 1/√1 - x²

Derivada de la función arc cos x

Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x.

De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,

1 = -y´.sen y⇒ y´ = -1/sen y

Como sen y = √1 - cos² y = √1 - x², y´ = -1/√1 - x²

Si h(x) = arc cos x⇒ h´(x) = -1/√1 - x²
Derivada de la función arc tg x

La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x.

y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

1 = y´.(1 + tg² y) = y´.(1 + x²). Despejando y´, y´ = 1/(1 + x²)

Si h(x) = arc tg x⇒ h´(x) = 1/(1 + x²)
Derivada de la función arc cotg x

La inversa de la función cotg x se llama arco-cotangente y se simboliza por arc cotg x.

Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

1 = -y´.(1 + cotg² y) = -y´.(1 + x²). Despejando y´, y´ = -1/(1 + x²)

Si h(x) = arc cotg x⇒ h´(x) = -1/(1 + x²)

Derivada de la función arc sec x

Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x.

y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,

1 = y´ · sec y · tg y = y´ · x · tg y (1)

Por trigonometría se sabe que 1 + tg² y = 1/cos² y = sec² y = x², de donde

tg² y = x² - 1 tg y = √x² - 1

Sustituyendo este valor en la igualdad (1), 1 = y´.x.√x² - 1, y despejando y´,
y´ = 1/x.√x² - 1
Si h(x) = arc sec x⇒ h´(x) = 1/x.√x² - 1
Derivada de la función arc cosec x

Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior,

y = arc cosec x, x = cosec y

Derivando: 1 = - y´ · cosec y · cotg y = - y´ · x · cotg y (1)

Como

1 + cotg² y = 1/sen² y = cosec² y = x², cotg² y = √x² - 1

Llevando este resultado a la igualdad (1) y despejando y´,

y´ = -1/x.√x² - 1
Si h(x) = arc cosec x⇒ h´(x) = -1/x.√x² - 1
REGLA DE LA CADENA TRIGONOMETRICA INVERSAS

Si en cada una de las funciones anteriores se tuviese una función de x,u(x), en lugar de la función x, las derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en:

f(x)

f´(x)

arcsen u

Derivada del arco seno

arccos u

- Derivada del arco coseno

arctg u

u´/(1 + u²)

arccotg u

-u´/(1 + u²)

arcsec u

Derivada del arco secante

arccosec u

- Derivada del arco cosecante

Ejercicio: cálculo de derivadas

1) Calcular la derivada de y = arc sen [(x + 1)/(x - 1)]

Resolución:

Si u = [(x + 1)/(x - 1)], por la derivada del cociente,

DERIVADA DE UNA FUNCION

2) Hallar la derivada de y = arc tg (ln x)/x
Resolución:

Llamando

DERIVADA DE UNA FUNCION


3) Calcular la derivada de y = arc sec (5.x³/3)

Resolución:

DERIVADA DE UNA FUNCION
4) ¿Cuál es la derivada de y = arc cosec √x² - 1
Resolución:

DERIVADA DE UNA FUNCION

DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x,se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.

Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Si α es el ángulo que forma la tangente con el eje X, tg α = f´(x) =AC/h

Diferencial de una función en un punto

Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f´(x) · h. Por tanto,

dy = df(x) = f´(x) · h

Propiedades de la diferencial

Primera propiedad:

La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.

Segunda propiedad:

Al ser dy = f ´ (x)·h = AC, la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.

Tercera propiedad:

Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f´(x).h = 1.h = h. Así, dx = h y se puede escribir

d(f(x)) = dy = f´(x).dx, y pasando dx al primer miembro, dy/dx = f´(x).

Cuarta propiedad:

Puesto que dy = f´(x) = límite cuando h tiende a cero [f(x + h) - f(x)]/h, de la noción de límite se deduce que cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a [f(x + h) - f(x)]/h, y puesto que h = dx, dy es prácticamente igual a f(x + h) - f(x).

Es decir, dy ≈ f(x + h) - f(x). Esta propiedad permitirá sustituir dy por f(x + h) - f(x) cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

Ejercicio: cálculos aproximados utilizando la diferencial

Un móvil se mueve según la relación s = 5t² + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos.

Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre 7 segundos y (7 + 1/3) segundos.

Resolución:

- Diferenciando la expresión s = 5t² + t,

ds = (10 t + 1) · dt

Por otro lado, dt = 7 + 1/3 - 7 = 1/3

- Sustituyendo en la expresión de ds,

ds = (10.7 + 1)/3 = 23,66 metros

- En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:

s = 5.(7 + 1/3)² + (7 + 1/3) - (5.7² + 7) = 24,18 m

Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm

Calcular 3,05².

Resolución:

Para encontrar un resultado aproximado de 3,05² se considera la función y = x².

Diferenciando esta función, dy = 2x dx.

Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy.

En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05

dy x = 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30

Por tanto, aproximadamente, 3,05² = 9 + 0,30 = 9,30.

Si se calcula con exactitud el valor de 3,05² se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡25 diezmilésimas!

<<< PRIMERA PARTE

 

Autor: 

Editor: Fisicanet ®

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