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Diferenciales. AP-01

Contenido: Diferenciabilidad. Idea intuitiva. Definición. Notación.

DIFERENCIABILIDAD

IDEA INTUITIVA: Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable a varias variables. La idea básica consiste en coger un vector vy ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y el vector, cuando el módulo del vector tiende a cero. Es decir, lo que hacemos es convertir la función a una variable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada.

DEFINICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm, a, punto interior de U, y v∈ ℜn, v ≠ 0. Entonces llamamos derivada de f según el vector v a:

D v f(a) = Diferenciabilidad [ f(a + t v) - f(a)]/t

OBSERVACION: Si y ≠ 0, entonces:

D λ v f(a) = λ .Dv f(a)

Demostración:

Dλ v f(a) = Diferenciabilidad [[ f(a + λ.t v) - f(a)]/t].(λ/λ) = λ.Diferenciabilidad [ f(a + h v) - f(a)]/t = λ.D v f(a)

NOTACION: Sea x ∈ ℜn. Entonces definimos la norma de x cómo:

DIFERENCIALES

DEFINICION: Llamaremos derivada direccional de f según una dirección definida por v a la derivada según el vector: u = v/|| v||

Ejemplo:

f(x,y) =

x.y²/(x² + y4)

(x,y) ≠ (0,0)

0

(x,y) = (0,0)

D v f(0) = Diferenciabilidad [ f(0 + t v) - f(0)]/t =

DIFERENCIALES

D v f(0) =

sen² θ/cos θ

cos θ ≠ (0,0)

0

cos θ = (0,0)

Existen todas las derivadas direccionales de f, pero f no es continua en (0,0)

Si hacemos x = m.y²

DIFERENCIALES

Luego el límite no existe y la función no es continua.

OBSERVACION: Si f = (f1,...,fm): ℜn → ℜm, entonces:

D v f(a) = (D v f1(a),...,D v fm(a))

DEFINICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm, a, punto interior de U. Entonces llamamos derivada parcial respecto de xi, i = 1,...,m a la derivada direccional de f según el vector e de la base canónica de ℜm. Lo representamos de la siguiente manera:

D e, f = ∂ f/∂xi

Ejemplo:

ƒ(x,y) = x.ex² + y²

∂ƒ/∂x = (1 - 2.x²).ex² + y²

∂ƒ/∂y = 2.x.y.ex² + y²

DEFINICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm, U abierto. Entonces se dice que fes diferenciable en a∈ U si existe una aplicación lineal D f(a): U ⊂ ℜn → ℜm , que llamaremos diferencial de f en a, tal que:

Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar f(a+ h) = f(a) + [D f(a)](h), sea una "o pequeña" de h, de tal manera que tiende más rápidamente a 0 que h. Es decir, pedimos que el error tienda a cero.

OBSERVACION: Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en un plano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos

Ejemplo:

f(x,y) = (x² + y²)½

¿Existe Df(O)
M(Df,Bc) = A = (α, β)

h= (h, k)
DIFERENCIALES
Acercándonos por h = 0:

DIFERENCIALES

Y por k = 0

DIFERENCIALES

Luego la función no es diferenciable.

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