Análisis Matemático

Diferenciales: Regla de la cadena. Teorema de Schwarz. Polinomio de Taylor. Orden de la derivada.

DIFERENCIALES

TEOREMA (Regla de la cadena): Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm, y g: V ⊂ ℜm → Rp, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en a∈ ℜn y g es diferenciable en f(a), entonces go f es diferenciable, y además:

D(go f) = D g(f(a)).D f(a)

OBSERVACION: Por tanto J(go f)(a) = J g(f(a)).J f(a)

Ejemplo:

f(u, v) = (eu + v, eu - v):R² → ℜ²

g(x, y) = x.cos y :R² → R
g o f(u, v) = g(f(u, v)) = g(eu + v, eu - v) = eu + v.cos eu - v

DIFERENCIALES
DEFINICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm . Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de a∈ U, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada el, número total de veces que hemos derivado.

NOTACION: DIFERENCIALES . Además, para simplificar:

f x = ∂ f/∂x

f xy = ∂ f/∂x∂y

Ejemplo:

f(x,y) = x.sen y

∂f/∂x = sen y

∂f/∂y = x.cos y

DIFERENCIALES

TEOREMA (Schwarz): Sea f: U ⊂ ℜ² → ℜ,U abierto, y a∈ U . Si existen fx, fy, f xy en un entorno de ay
f xy es continua en a, entonces existe f xy(a) y además: f yx(a) =f xy(a). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

DEFINICION: Decimos que una función es de clase Cm en a∈ ℜn si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en a. Análogamente decimos que una función es de clase Cm en A ⊂ ℜn si lo es en todos los puntos de A

DEFINICION: Si f es de clase C² en a, llamamos diferencial segunda de f en a a:

DIFERENCIALES

OBSERVACION:

1) la diferencial segunda es una forma bilineal.

2) la diferencial segunda se puede representar matricialmente:

DIFERENCIALES

A dicha matriz se la llama MATRIZ HESSIANA o HESSIANO de f

Por ser f de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:

DIFERENCIALES

En general:

DIFERENCIALES

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

Ejemplo: n = 2

DIFERENCIALES

DEFINICION: Si f es de clase Cm en a, llamamos diferencial de orden m en a a:

DIFERENCIALES

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en a como un binomio a la m

DEFINICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜ. U abierto, y f de clase Cm en a. Entonces se define en POLINOMIO DE TAYLOR de orden m de f en a como:

DIFERENCIALES

y el RESTO DE TAYLOR de orden m como:

Rm (f, a)(x) = f(x) - Tm (f, a)(x)

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Editor: Fisicanet ®

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