Análisis Matemático

Diferenciales: Diferencial en varias variables. Teorema de Taylor. Criterio de Sylvester.

VARIAS VARIABLES

TEOREMA (Taylor): Sea f: U ⊂ ℜn → ℜ. U abierto, y f de clase Cm+1 en U, y a, x∈ U, tales que el segmento L[ a, x] de extremos a, x está incluido en U. Entonces existe ρ ∈ L[ a, x] - { a, x} tal que:

Diferenciabilidad

por tanto:

Diferenciabilidad

OBSERVACION: Si hacemos x = a + h, entonces:

Diferenciabilidad

APLICACIONES

PROPOSICION:

1) Sea f:ℜn → R entonces ∇f(a) es perpendicular a la curva (n = 2) o superficie (n = 3) de nivel que pasa por a.

Demostración:

Sea S una superficie de nivel de f, tal que a ∈ S

S = {(x, y, z) / f(x, y, z) = constante}

y sea a una curva α (0):I ⊂ R → ℜ³, tal que α(0) = a y α(I) = S

Si componemos f con α

Diferencial en varias variables

J(f o α)(t) = Jf(α (t)).J α(t) = ∇f(α(t)).(α´(t)) = 0
Por ser f(α(t)) = constante

t = 0

∇f(a).(α´(0)) = 0 ⇒ ∇f(a) ˆ (α´(0))

Como α es genérica, ∇f(a) es perpendicular a toda curva de S, y por tanto es perpendicular a S.

2) Si f:R² → R es diferenciable en (x0,y0), entonces el plano tangente a la gráfica de f en el punto (X0, Y0, f(X0, Y0))∈ ℜ³ es:

π : z - z0 = fx(x0, y0).(x - x0) + fy(x0, y0).(y - y0)

Ejemplo:

Calcular el plano tangente a S: x³ + 2.x².y + z².x² = 3 en p = (1,1,0)
fx = 3.x² + 4.x.y + 2.z².x

fy = 2.x²

fy = 2.z.x²
∇f(1,1, 0) = (7, 2, 0)

π : 7.x + 2.y - 9 = 0

DEFINICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜ.,y a punto interior de U. Entonces:

1) f alcanza un máximo relativo en a si existe E, entorno de a, tal que f(x) ≤ f(a)∀ x ∈ E

2) f alcanza un mínimo relativo en a si existe E, entorno de a, tal que f(x) ≥ f(a)∀ x ∈ E

3) f alcanza un máximo absoluto en a si f(x) ≤ f(a)∀ x ∈ U

4) f alcanza un mínimo absoluto en a si f(x)≥ f(a)∀ x ∈ U

Diremos que f alcanza un extremo relativo en asi alcanza un máximo o un mínimo relativo, y que f alcanza un extremo absoluto en a si alcanza un máximo o un mínimo absoluto.

TEOREMA: Si f: U ⊂ ℜn → ℜ. es continua en U, y U es un conjunto compacto de ℜn, entonces f alcanza un máximo y un mínimo absolutos en U.

TEOREMA (Condición necesaria): Sea f: U ⊂ ℜn → ℜ.,y a punto interior de U. Si f es diferenciable en a y alcanza un extremo relativo en a, entonces Df(a) = 0

OBSERVACION: Los puntos en los que f es diferenciable y se verifica Df(a) = 0 se llaman puntos estacionarios de la función. Por tanto el teorema anterior asegura que los extremos relativos son puntos estacionarios.

OBSERVACION: Para estudiar si una función tienen máximos o mínimos, la definición antes dada no es nada práctica. Necesitamos la diferencial segunda para estudiar como es la función. Para trabajar con la diferencial segunda, usaremos la forma cuadrática.

DEFINICION: Sea ω :ℜn → R una forma cuadrática no nula:

1) Se dice que ω es definida positiva si ω (x) > 0∀ x ≠ 0

2) Se dice que ω es definida negativa si ω (x) < 0∀ x ≠ 0

3) Se dice que ω es semidefinida positiva si ω (x)≥ 0∀ x ∈ ℜn y ω no es definida positiva

4) Se dice que ω es semidefinida negativa si ω (x) ≤ 0∀ x ∈ ℜn y ω no es definida negativa

Se dice que ω es indefinida en el resto de los casos, es decir, si existen x, y ∈ ℜn, tales que ω (x) ω (y) < 0

TEOREMA (Condición suficiente): Sea f: U ⊂ ℜn → ℜ.,U abierto, y supongamos que f es de clase C² en U. Sea a ∈ U un punto estacionario de f, es decir, tal que Df(a) = 0. Entonces:

1) Si D²f(a) es definida positiva, entonces f alcanza en a un mínimo relativo.

2) Si D²f(a) es definida negativa, entonces f alcanza en a un máximo relativo.

3) Si D²f(a) es indefinida, entonces f no alcanza en a un extremo relativo.

OBSERVACION:

1) Si D²f(a) es semidefinida (positiva o negativa), el teorema anterior no da ninguna información.

2) A los puntos estacionarios para los que D²f(a) es indefinida se les llama puntos de silla de f

DEFINICION: Llamamos RANGO de una forma cuadrática al rango de su matriz asociada y SIGNATURA al número de autovalores positivos que posee (contando multiplicidad).

OBSERVACION: Como la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, siempre tiene n autovalores reales(contando multiplicidad), por lo que el rango de la forma cuadrática es igual al número de autovalores diferentes de cero(contando multiplicidad)

TEOREMA: Sea ω :ℜn → R una forma cuadrática. Entonces:

1) ω es definida positiva si y solo si rang(ω) = n y sig(ω) = n.

2) ω es definida positiva si y solo si rang(ω) = n y sig(ω) = 0.

3) ω es semidefinida positiva si y solo si rang(ω) = sig(ω) < n.

4) ω es semidefinida positiva si y solo si rang(ω) < n y sig(ω) = 0.

TEOREMA (Criterio de Sylvester): Sea Δk el determinante de orden k formado por los elementos de las k primeras filas y las k primeras columnas de la matriz asociada a ω . Entonces:

ω es definida positiva si y solo si Δk> 0, k = 1,2,...,n.

ω es definida negativa si y solo si (-1)kΔ k> 0, k = 1,2,...,n.

OBSERVACION: En nuestro caso esto lo aplicaremos al hessiano de la función, ya que por ser la diferencial segunda, su matriz es una forma cuadrática.

DEFINICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜ. y φ: U ⊂ ℜn → ℜm (m < n) (ligadura). Sea también

S = { x ∈ U/ φ(x) = 0}, y sea a ∈ S . Entonces se dice que f tiene en a un extremo relativo condicionado por la ligadura φ(x) = 0 si existe un entorno E de a tal que se verifica:

f(a) ≥ f(x)∀ x ∈ E ∩ S. Entonces a es un máximo relativo condicionado por φ.

f(a) ≤ f(x)∀ x ∈ E ∩ S. Entonces a es un mínimo relativo condicionado por φ.

OBSERVACION: Lo de condicionado significa que estudiamos la función en el dominio limitado por la superficie S = { x ∈ U/ φ(x) = 0}, dada por una función que llamaremos ligadura.

TEOREMA (Condición necesaria): Sea f: U ⊂ ℜn → ℜ y φ: U ⊂ ℜn → ℜm (m < n), U abierto, y f y φ de clase C¹ en U. Sea también a ∈ U, y supongamos que φ(a) = 0 y que el rango de D φ(a) sea m(Los vectores gradiente son independientes). Si la función f tiene un extremo relativo en a condicionado por la ligadura φ(a) = 0, entonces existen λ 1,..., λ m ∈ ℜ tales que la función g = f + λ 1. φ 1 + λ 2. φ 2 +...+ λ m. φ m(Función de Lagrange o lagrangiano) verifica que Dg(a) = 0 (Tiene un punto estacionario en a)

Ejemplo:

Hallar los extremos de f(x,y,z) = x² + x.y + z³ condicionados por:

S =

x² + y² = 1

x + z = 2

Es fácil darse cuenta que S es una elipse dada por la intersección de un cilindro vertical con un plano oblicuo.

φ 1 = x² + y² - 1

φ 2 = x + z - 2

Construimos el lagrangiano

g = f + λ 1. φ 1 + λ 2. φ 2

Como sabemos que : Df(a) = 0, y por ser g:R³ → R, nos queda que ∇g = 0

gx = 2.x + y + λ 1.(2.x) + λ 2 = 0

gy = x + λ 1.(2.y) = 0

gz = 3.z² + λ 2 = 0

Y además

x² + y² = 1

x + z = 2

Tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos los extremos relativos

OBSERVACION: A menudo es muy difícil la resolución de los sistemas de ecuaciones, al no ser estos lineales.

TEOREMA (Condición suficiente): Además de verificarse el teorema anterior, ahora pedimos que f y φ sean de clase C² en U. Consideramos entonces la forma cuadrática ω = D²f(a) Entonces:

Si ω es definida positiva, entonces a es un mínimo relativo de f condicionado por φ

Si ω es definida negativa, entonces a es un máximo relativo de f condicionado por φ

Si ω es indefinida, entonces a no es un extremo relativo.

CALCULO (Búsqueda de extremos absolutos en compactos): Si f: D ⊂ ℜn → ℜ., D compacto, sabemos que f tiene máximo y mínimo absolutos en D. Dichos extremos pueden ser del interior de D, y por tanto están en los puntos estacionarios, o pertenecer a la frontera de D. Para encontrarlos buscaremos los puntos estacionarios del lagrangiano y evaluaremos f en dichos puntos.

Editor: Fisicanet ®

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