Análisis Matemático

Diferenciales: Resumen y fórmulas: Campos vectoriales. Campos centrales. Campos homogéneos. Teorema de Euler. Teorema de Green. Integrales curvilíneas. Teorema de la divergencia en el plano

CAMPOS VECTORIALES

DIFERENCIALES EXACTAS

El diferencial:

ω = f.dx + g.dy + h.dz

es exacto si, siendo el campo asociado:

F = (f,g,h)

se cumple que:

∇ω = F ⇒ ∇ω = (f,g,h)

siendo ω (X) el potencial de F, tal que:

f = ω x

g = ω y

g = ω z

ω = ω x.dx + ω y.dy + ω z.dz

CAMPOS CENTRALES

Teorema 3.8.II

Campo conservativo en un abierto conexo (para los puntos P y Q):

C F = ω (Q) - ω (P)

Teorema 3.8.III

Campo conservativo en un abierto conexo:

Teorema 3.8.IV

Campo conservativo continuo en un abierto conexo:

 

Teorema 3.8.V

Campo conservativo de clase C¹ en un abierto (conexo o no):

CAMPOS HOMOGÉNEOS

Si: F(t.X) = tα.F(X)

Siendo α el grado de homogeneidad de F.

Teorema de Euler

Si F es homogénea de grado α:

X.∇F(X) = α .F(X)

Teorema 3.10.II

Siendo F homogénea de grado α ≠ -1 y cumple con 3.8.II

ω (X) = (a + 1)-1.X.F(X)

para ℜ² y ℜ³

APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN - CAMPOS VECTORIALES

Teorema 3.11.I:

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, D dominio regular:

∂D F = 0

Teorema 3.11.II:

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, para A simplemente conexo:

F es conservativo en A.

Teorema 3.11.III:

Si P es laguna, para cualquier circunferencia de centro en P:

APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN

Teorema 3.11.IV:

Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:

APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN

APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN

Teorema 3.11.V:

Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:

C F = p

p: período del campo F relativo a la laguna P.

Teorema 3.11.VI:

Si “p” es cero el campo es conservativo (P = laguna)

INTEGRALES CURVILÍNEAS DE FUNCIONES

INTEGRALES CURVILÍNEAS DE FUNCIONES

Centro de masa o baricentro:

Suponiendo δ (x,y,z) = constante:

xG =

Cx.ds

Cds

 

yG =

Cy.ds

Cds

 

zG =

Cz.ds

Cds

Si δ (x,y,z) no es constante se incorpora bajo el símbolo de integral en numerador y denominador.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO (Gauss)

Para:

F = (Q,P)

C(t) = (x(t),y(t))

Siendo:

n = [y´(t), -x´(t)]/||C´(t)||

div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y

El Teorema de la divergencia es:

 

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Editor: Fisicanet ®

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