Modelos de examen final de Algebra
Modelo de Final para Algebra
Problema n° 1
Sean: S2 = {x ∈ ℜ³: x - y + z = 0} S2 = {x ∈ ℜ³: x = y}
Hallar, si es posible, una transformación ortogonal T: ℜ³ ⟶ ℜ³ tal que (T(S1))ˆS2
Problema n° 2
Sea P2 el conjunto de polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 2 y T:P2 ⟶ P2
Definida por:
T(a0 + a1t + a2t²) = (a0 + 2·a1 + c·a2) + a1t + (4·a1 + 3·a2)·t²
Hallar los valores de c para los cuales existe una base de P2 tal que la matriz de T en esa base es diagonal
Problema n° 3
Sea V un ℜ espacio vectorial con producto interno. Probar que si x e y son vectores ortogonales de V, entonces para todo α ∈ ℜ
||αx - y|| ≥ ||y||
Es cierto que si α ≥ o entonces ||αx - y|| ≥ ||x||? Justificar
Problema n° 4
Sean S y T dos endosmorfismos de un espacio vectorial V tales que ST = TS,
Probar que los subespacios Nu(S) e Im(S) son invariantes por T
Problema n° 5
Resolver la siguiente ecuación
(x - 1)²y·dx + x²·(y + 1)·dy = 0
Modelo de Final para Algebra
Problema n° 1
Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo K de dimensiones n y m respectivamente y sea F:V ⟶ W una transformación lineal:
a) Probar que F es inyectiva ⇔ existe: G:W ⟶ V tal que G o F = Idv
b) ¿Qué puede decirse si F es sobreyectiva?
Problema n° 2
Sea L: P2 ⟶ ℜ³ definida por
L(1 + x + x²) = (2, 0, 1)
L(1 + x²) = (3, 1, 0)
L(x + x²) = (1, -2, 3)
a) Hallar la matriz de L respecto de las bases {1, x, x2} y la canónica de R3
b) ¿Es posible hallar un polinomio P tal que L(P) = (1, 0, 0)? ¿Es único? Justificar
c) ¿Existen bases B1 de P2 y B2 de R3 tal que la matriz de L en esas bases sea la identidad?
d) Justificar
Problema n° 3
Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y T: V ⟶ V una transformación lineal tal que T² = T,
Demostrar que:
a) Todo vector no nulo de la imagen es autovector
b) T es diagonalizable
c) ¿Cuánto vale la tr T? ¿Qué forma puede tener la matriz diagonal de T?
Problema n° 4
Hallar, si es posible, una transformación simétrica T: ℜ³ ⟶ ℜ³ tal que:
Im T = {x ∈ ℜ³: x + y - z = 0} y tr T = 4
Problema n° 5
Resolver:
(e²·y - y·cos (x·y))·dx + (2·x·e²·y - x·cos (x·y) + 2·y)·dy = 0
Autor: Sin datos
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)