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Modelos de examen parcial. EX-07

Contenido: 2° parcial de Análisis Matemático II. EX-07

Modelos de examen

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

1) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje y, del arco de curva y³ - 3.x = 0, comprendido entre los puntos (0, 0) y (9, 3).

y³ - 3.x = 0 ⇒ y³/3 = x = f(y)

Aplicamos:

Cálculos

Calculamos:

Cálculos

2) Calcular la integral del campo:

sobre la curva y = ex, desde el punto (1, e) hasta el punto (0, 1).

Verificamos las derivadas parciales cruzadas:

Cumple para (x,y) ≠ (0,0).

Verificamos:

F(X.t) = tα.F(X) → α ≠ -1

Cálculos

F(X.t) = t1/3.F(X) → α ≠ -1

Se trata de un campo homogéneo y conservativo para (x,y) ≠ (0,0).

φ(x,y) = [1/(1 + 1/3)].X.F(X)

Cálculos

Calculamos la diferencia de potencial:

3) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u,v) = (v² - u²,u + v,v²), en el punto (3, -1, 4).

Verificamos el punto:

v² - u² = 3

u + v = -1
v² = 4 ⇒ v = ±2

(±2)² - u² = 3 ⇒ u² = 4 - 3 ⇒ u = ±1

u + v = -1 ⇒ 1 - 2 = -1

Resulta para:

u = 1

v = -2

Entonces:

X(1,-2) = (3,-1,4)

Calculamos el vector normal:

Xu = (-2.u, 1, 0) ⇒ Xu(1, -2) = (-2, 1, 0)

Xv = (2.v, 1, 2.v) ⇒ Xv(1, -2) = (-4, 1, -4)

XuxXv =

E1

E2

E3

= (-4, -8, 2)

-2

1

0

-4

1

-4

Calculamos la ecuación del plano:

Z.XuxXv = X(1,-2).XuxXv

(x,y,z).(-4,-8,2) = (3,-1,4).(-4,-8,2)

-4.x - 8.y + 2.z = -12 + 8 + 8

2.x + 4.y - z = -2

4) Verificar el teorema de Stokes, si F = (y,x²,z.x) y S es el hemisferio x² + y² + z² = 4, z ≥ 0.

Aplicamos:

= ∫∫S rot F.dS

Calculamos el primer miembro, parametrizamos la frontera sobre el plano z = 0:

C(t) = (2.cos t,2.sen t;0)

0 ≤ t ≤ 2.π

Derivamos:

C´(t) = (-2.sen t,2.cos t;0)

F(C(t)) = (2.sen t,(-2.cos t)²,0.(-2.cos t)) = (2.sen t,4.cos² t,0)

Armamos la integral:

Cálculos

El primer miembro resulta:

= -4.π

Para el segundo miembro calculamos primero el rotor de F:

rot F =

E1

E2

E3

= (0, -z, 2.x - 1)

∂/∂x

∂/∂y

∂/∂z

y

z.x

Parametrizamos la superficie, pero elegimos parametrizar el círculo base que tiene el mismo borde:

X(r,t) = (r.cos t,r.sen t,0)

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ t ≤ 2.π

Calculamos el vector normal:

Xr = (cos t, sen t, 0)

Xt = (-r.sen t, r cos t, 0)

n =

E1

E2

E3

= (0, 0, r.cos² t + r.sen² t) = (0, 0, r)

cos t

sen t

0

-r.sen t

r.cos t

0

n = (0, 0, r)

Como r es siempre positivo el vector normal apunta hacía la parte positiva de z, significa página interior de la superficie elegida.

∫∫ S rot F.dS = ∫∫ S1 rot F.dS

rot F(X(r,t)) = (0,0,2.r.cos t - 1)

∫∫ S rot F.dS = ∫∫ D (0,0,2.r.cos t - 1).(0,0,r).dt.dr = ∫∫ D (2.r².cos t - r).dt.dr

Cálculos

El segundo miembro resulta:

∫∫ S rot F.dS = -4.π

Verificándose:

= ∫∫S rot F.dS = -4.π

5) Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

a - x.dy + y.dx = ex.dx, y(1) = 1

b - y" - 3.y´ = e-x + x² + 2

a -

x.dy = -y.dx + ex.dx ⇒ x.dy = (-y + ex).dx ⇒ x.dy = (-y + ex).dx

x.y - ex = c ⇒ x.y = ex + c ⇒ y = (ex + c)/x

Para y(1) = 1:

1.1 = e¹ + c ⇒ 1 = e + c ⇒ 1 - e = c

La solución particular es:

yp = (ex + 1 - e)/x

b - Hallamos las raíces para la integral homogénea:

λ² - 3. λ = 0 ⇒ (λ - 3). λ = 0

λ 1 = 0

λ 2 = 3

La integral homogénea es:

y* = C1.e0.x + C2.e³.x ⇒ y* = C1 + C2.e³.x

y = a.x³ + b.x² + c.x + d.e-x

y´ = 3.a.x² + 2.b.x + c - d.e-x

y" = 6.a.x + 2.b + d.e-x

Debe cumplir:

y" - 3.y´ = e-x + x² + 2

6.a.x + 2.b + d.e-x - 9.a.x² - 6.b.x - 3.c + 3.d.e-x) = e-x + x² + 2

4.d.e-x - 9.a.x² + 6.a.x - 6.b.x + 2.b - 3.c = e-x + x² + 2

4.d.e-x = e-x ⇒ 4.d = 1 ⇒ d = 1/4
- 9.a.x² = x² ⇒ - 9.a = 1 ⇒ a = -1/9
6.a.x - 6.b.x = 0.x ⇒ 6.a - 6.b = 0 ⇒ a - b = 0 ⇒ b = a ⇒ b = -1/9
2.b - 3.c = 2 ⇒ 3.c = 2.b - 2 ⇒ c = (2.b - 2)/3 ⇒ c = (2.(-1/9) - 2)/3 ⇒ c = -20/27

y = -1.x³/9 - 1.x²/9 - 20.x/27 + e-x/4

La integral general es:

y = C1 + C2.e³.x - x³/9 - x²/9 - 20.x/27 + e-x/4

6) Calcular el flujo saliente del campo F(X) = (y,z,x.z) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z ≤ 1, x ≥ 0.

7) Demostrar que un campo central F = α (r).X definido en un abierto conexo U ⊆ ℜn es conservativo en U.

 

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

1) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u,v) = (v.u³,v² - u,v²), en el punto (1,2,1).

2) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x, del arco de curva y² - 2.x = 0, comprendido entre los puntos (2,2) y (8,4).

3) Calcular la integral del campo:

Modelos de examen

sobre la hipérbola (y - 1).(x - 2) = 1, desde el punto (0,1/2) hasta el punto (1,0).

4) Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

a - x.y" - x².cos x = y, y(1) = 1

b - y" + 2.y´ = 3 + sen x

5) Calcular el flujo saliente del campo F(X) = (x.y,x,y) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z²

0 ≤ z ≤ 2

x ≥ 0

y ≥ 0

6) Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, - x.z, z²) y S es la porción de paraboloide z = x² + y², z ≤ 9.

7) Demostrar que si F es un campo homogéneo de grado α ≠ -1 en un abierto conexo U ⊆ ℜ², y su matriz jacobiana es simétrica, entonces el campo F es conservativo en U.

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