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Funciones simétricas. AP-03

Contenido: Funciones simétricas. Funciones pares e impares. Funciones inversas.

Funciones simétricas

Funciones pares

Una función f(x) es par cuando cumple f(x) = f(-x).

Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.

f(2) = f(-2), f(3) = f(-3), f(1/3) = f(-1/3),...

Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y.

Funciones impares

Una función f(x) es impar si cumple f(-x) = - f(x).

A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de 1...).

Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Ejercicio: ejemplos de funciones pares e impares

Indicar cuáles de estas funciones son pares:

f(x) = x²; g(x) = 3.x + 2; k(x) = |x|

Resolución:

f(x) = x²
f(-x) = (-x)² = x²

⇒ f(x) = f(-x)

La función f(x) es par.

g(x) = 3.x + 2
g(-x) = 3.(-x) + 2 = -3.x + 2

⇒ g(x) ≠ g(-x)

La función g(x) no es par.

k(x) = |x|
k(-x) = |-x| = |x|

⇒ k(x) = k(-x)

k(x) = |x| es una función par.

¿Cuáles de estas funciones son impares?:

f(x) = x; g(x) = x³; h(x) = x + 1

Resolución:

-f(x) = -x
f(-x) = (-x) = -x

⇒ f(-x) = -f(x)

Esta función es impar.

-g(x) = -x³
g(-x) = (-x)³ = -x³

⇒ g(-x) = -g(x)

Esta función es impar.

-h(x) = -(x + 1) = -x - 1
h(-x) = (-x) + 1 = -x + 1

⇒ h(-x) ≠ -h(x)

h(x) no es una función impar.

Funciones inversas

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a

- Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

- Despejar la variable independiente x.

- Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er cuadrante y del 3.er cuadrante.

Ejercicio: cálculo de la función inversa de una dada

Hallar la función inversa de y = 5 .x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

- Se despeja x: x = (y + 2)/5

- Se intercambian ambas variables: y = (y + 2)/5
la función inversa de y = (y + 2)/5
2) Hallar la función inversa de y = + √x, en su campo de existencia, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

El campo de existencia de la función y = + √x son todos los números positivos, incluido el cero.

- Se despeja x: x = y²

- Se intercambian ambas variables: y = x².
la función inversa de y = + √x es y = x².

Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

- Se despeja x : x = -y + 4.

- Se intercambian ambas variables:

y = - x + 4.

La función dada coincide con su inversa.

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