Análisis Matemático

Funciones de varias variables: Funciones escalares y funciones vectoriales. Conceptos básicos y definiciones.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

IDEA INTUITIVA: Hasta el momento hemos trabajado con función de una sola variable, es decir, que van de R a R. Ahora vamos a trabajar con funciones escalares, que reciben un vector de ℜn y devuelven un valor de R, y con funciones vectoriales que reciben un vector de ℜn y devuelven uno de ℜm. La dificultad de estas funciones reside en que no tienen representación gráfica posible, a excepción de las funciones de ℜ² en R, que se pueden representar como superficies tridimensionales. Además, los cálculos de límites se complican mucho llegando a ser imposibles. Por ello nos ocuparemos casi siempre de las más sencillas de este tipo de funciones, aunque toda la teoría se referirá a funciones de n variables.

CONCEPTOS BASICOS

DEFINICION: Sea f:ℜn → R una aplicación que a cada x ∈ ℜn le asigna f(x) ∈ R. Entonces f:ℜn → R es una función escalar de varias variables.

x = (x1,...xn) ∈ ℜn

f(x) = f(x1,...xn) = t ∈ R

NOTACION: En el caso de que n = 2, haremos:

x1 = x, x2 = y

Y en el caso de que n = 3

x1 = x, x2 = y, x3 = z

DEFINICION: Sea f:ℜn → R. Llamamos DOMINIO de la función al conjunto de puntos de ℜn en el que está definida f:ℜn → R

Ejemplo:

f(x,y) = [ln (x² + y² - 25)]/(x + y²)

dom(f) = {(x, y) ∈ ℜ² / x² + y² > 25, x ≠ -y²}

OBSERVACION: Sea f:R² → R. Llamamos GRAFICA de f al conjunto {(x, y, z) ∈ ℜ³ / z = f(x, y) ⊂ ℜ³}. A dicha gráfica la llamaremos superficie:

CURVAS DE NIVEL Y SUPERFICIES DE NIVEL

CURVAS DE NIVEL Y SUPERFICIES DE NIVEL

Ejemplo:

Llamamos CURVAS DE NIVEL a los puntos de la forma {(x, y) ∈ ℜ² / f(x, y) = constante}. Son los puntos obtenidos al intersectar la superficie generada por f con un plano z = constante, y proyectarla en el plano.

OBSERVACION: Sea f:R³ → R. Llamamos SUPERFICIES DE NIVEL de f a los conjuntos de la forma conjunto {(x, y, z) ∈ ℜ³ / f(x, y, z) = constante}.

DEFINICION: Sea f:ℜn → ℜm una aplicación que a cada x ∈ ℜn le asigna un vector f(x) = Y ∈ ℜm. Entonces f:ℜn → ℜm es una función vectorial de varias variables.

x = (x1,...xn) ∈ ℜn

f(x) = [f1(x), f2(x), ..., fm(x)] ∈ ℜm, fi: ℜn → R

Y a las f1:ℜn → R se las llama funciones coordenadas.

Ejemplo:

f(x, y) = [(x + y)/(x - y), sen (x + y), cos (x.y)] f: ℜ² → ℜ³

DEFINICION: Sea f:ℜn → ℜm. Llamamos DOMINIO de la función a la intersección de los dominios de las funciones coordenadas de f.

Editor: Fisicanet ®

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