Problema n° 10 de funciones de varias variables - TP04
Enunciado del ejercicio n° 10
Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:
X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]
En los puntos de intersección de X(t) con el plano x + y - z = 1.
Debe verificar:
| x = (t + 1)² y = -t² z = 3 - t | ⟶ (t + 1)² - t² - (3 - t) = 1 t² +2·t + 1 - t² - 3 + t = 1 |
Desarrollo
Fórmulas:
Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)
Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)
Solución
3·t - 3 = 0
3·t = 3
t = 1
Luego:
X(1) = [(1 + 1)², -1², 3 - 1]
X(1) = (4, -1, 2)
X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]
X'(t) = [2·(t + 1), -2·t, -1]
X'(1) = [2·(1 + 1), -2·1, -1]
X'(1) = (4, -2, -1)
La ecuación del plano es:
X·X'(1) = X(1)·X'(1)
(x, y, z)·(4, -2, -1) = (4, -1, 2)·(4, -2, -1)
4·x - 2·y - z = 16 + 2 - 2
Resultado, la ecuación cartesiana del plano normal a la curva es:
4·x - 2·y - z = 16
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva