Integración de una función escalar
Definición:
Dada C ⊂ ℜn una curva lisa de ecuación vectorial x = G(t), t ∈ [a, b] (g inyectiva) y dada F:A ⊂ ℜn ⟶ ℜ, contínua, C ⊂ A, se define la integral de F sobre C como:
| ∫C F·dl = ∫ | b | F(G(t))·|G'(t)|·dt |
| a |
Longitud de una curva:
| L = ∫ | b | |G'(t)|·dt |
| a |
Si C = C1 ∪ C2, donde C1 ∩ C2 tiene a lo sumo un punto:
∫ C·dl = ∫ C1·dl + ∫ C2·dl
Ejemplo n° 1
y = x²
G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1]
G'(t) = (1, 2·t)·|G' (t)| = √1 + 4·t²
| L = ∫ | 1 | |G'(t)|·dt = ∫ | 1 | √1 + 4·t²·dt |
| 0 | 0 |
| L = ∫ | 1 | √1 + (2·t)²·dt |
| 0 |
v = 2·t ⇒ dv = 2·dt
| L = ∫ | 2 | √1 + v²·dv |
| 0 |
L = ¼·{sh ½·[2·argsh (2)] + argsh (2)}
L = 1,42
Integral de F sobre C:
| ∫C F·dl = ∫ | b | F(G(t))·|G'(t)|·dt |
| a |
Trabajo o circulación de F a lo largo de C:
| ∫C F·dl = ∫ | b | F(G(t))·G'(t)·dt |
| a |
Ejemplo n° 2
Calcular el trabajo de F entre (0, 0) y (1, 1) a lo largo de la curva y = x²
F(x, y) = (x + y, y)
Parametrización de la curva:
G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1]
| T = ∫ | 1 | F(G(t))·G'(t)·dt = ∫ | 1 | (t + t², t²)·(1, 2·t)·dt |
| 0 | 0 |
| T = ∫ | 1 | (t + t² + 2·t³)·dt |
| 0 |
| T = (½·t² + ⅓·t³ + 2·¼·t4) | 1 | |
| 0 |
T = 4/3
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina