Análisis Matemático

Integrales: Integrales. Fórmulas de reducción. Cálculo de integrales. Fracciones simples.

INTEGRALES DE COCIENTES

Ejercicio: cálculo de integrales

1) Calcular (3.x - 1)/(x² + 2 x + 5).dx

Resolución:

Al resolver la ecuación de segundo grado x² + 2 x + 5 = 0, se obtienen las raíces

- 1 + 2 I y - 1 - 2 I, por lo que

x² + 2 x + 5 = (x + 1 - 2 I) (x + 1 + 2 I) = (x + 1)² + 4 1.

Aplicando la fórmula anterior, A = 3, B = -1, α = -1 y β = 2.

INTEGRALES
A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:

a)

INTEGRALES
Se resuelven por separado las dos integrales.

b)

INTEGRALES

Por tanto,

INTEGRALES
Llamando u = (x + 1)/2, u´ = 1/2. Multiplicando y dividiendo por 1/2:

INTEGRALES

d) Sumando los resultados de b) y C). (C1 + C2 = C),

(3.x - 1)/(x² + 2 x + 5).dx = (3/2).ln [(x + 1)² + 4] - 2.arctg (x + 1)/2 + C,

resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.

2) Calcular (2.x + 5)/(x³ + 6.x² + 9.x).dx

Resolución:

Se calculan las raíces del denominador.

x³ + 6.x² + 9.x = x.(x² + 6.x + 9) = 0 ⇒

x = 0
ó
x² + 6.x + 9 = 0

x² + 6.x + 9 = 0 ⇒ x = (-6 ± √36 - 36)/2 ⇒ x = (-6 ± 0)/2 ⇒ x = -3

Tiene las raíces x = 0, simple, y x = - 3, doble. Así,

x(x² + 6 x + 9) = x(x + 3)²

Se descompone (2.x + 5)/(x³ + 6.x² + 9.x) en fracciones simples:

INTEGRALES
Igualando los numeradores,

2 x + 5 = A(x + 3)² + Bx(x + 3) + Cx

Se dan valores a x:

Si x = 0, 5 = A.(0 + 3)2 = 9.A ⇒A = 5/9
Si x = -3, 2.(-3) + 5 = -3.C ⇒ -1 = -3.C ⇒C = 1/3
Si x = t, 7 = 16.A + 4.B + C ⇒ 7 = 16.5/9 + 4. B + 1/3 ⇒63 = 80 + 36.B + 3 ⇒ -20 = 36.B ⇒B = -5/9
Así,

INTEGRALES
3) Calcular (3.x² + 5)/[(x - 2) (x² + 2 x + 4)].dx

Resolución:

Raíces de (x - 2) (x² + 2 x + 4):

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

x² + 2.x + 4 = 0 ⇒

x1 = -1 + i.√3
x2 = - 1 - i.√3

x² + 2.x + 4 = (x + 1 + i.√3).(x + 1 - i.√3) = (x + 1)² + 3

Descomposición en fracciones simples:

INTEGRALES
Se identifican los numeradores y se dan valores a x:

3 x² + 5 = A(x² + 2 x + 4) + (Mx + n) (x - 2)

Si x = 2, 17 = A.12 ⇒ A = 17/12

INTEGRALES
Luego:

INTEGRALES

FORMULAS DE REDUCCION

Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n,siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 ó n - 2.

Cálculo de In = sen n x dx

Como se ve, el subíndice n de In coincide con el exponente de sen n x.

Desde luego, I0 = sen 0 x dx = 1.dx = x e I1 = sen 1 x dx = sen x.dx = -cos x

Para encontrar la fórmula de reducción de In se integrará por partes:

u = sen (n - 1) x; du = (n - 1).sen(n - 2) x.cos x.dx
dv = sen x dx; v = sen x.dx = -cos x

Por tanto, In = -cos x.sen n - 1x - (n - 1) -sen n - 2 x.cos² x dx
In = -cos x .sen n - 1x + (n - 1) sen n - 2 x.(1 - sen² x).dx
In = -cos x .sen n - 1x + (n - 1) sen n - 2 x.dx - (n - 1) sen n x.dx
In = -cos x.sen(n - 1) x + (n - 1).In - 2 - (n - 1).In

Pasando - (n - 1) In al primer miembro y despejando In,

In (1 + n - 1) = - cos x · sen (n - 1) x + (n - 1) · In - 2

n· In = - cos x · sen(n - 1) x + (n - 1) · In - 2

De donde In = (-cos x.sen n-1 x)/n + [(n - 1)/n].In - 2

Así: I0 = x I1 = - cos x

INTEGRALES
Cálculo de In = cos n x dx

Para calcular Jn = cos n x dx, basta darse cuenta que cos x = sen (90° - x),

por lo que Jn = [sen (90° - x)]n.dx y haciendo el cambio de variable 90° - x = y, dx = - dy.

Así:

INTEGRALES

Volviendo a hacer el cambio y = 90° - x se tiene:

cos y = cos (90° - x) = sen x;

sen(n - 1) y = sen (n - 1)(90° - x) = cos (n - 1) x

y - [(n - 1)/n]. sen (n - 2) (90° - x).(-dx) =

INTEGRALES

Concluyendo que:

Jn = (sen x.cos n - 1 x)/n + [(n - 1)/n].Jn - 2

Cálculo de la integral In = dx/(1 + x²)n

Sumando y restando x² al numerador,

INTEGRALES
La segunda integral se resuelve por partes:

u =x, du = dx

INTEGRALES

De donde,

INTEGRALES
Volviendo a la expresión (1), se obtiene:

INTEGRALES

Operando,

INTEGRALES

Así, se obtendría, por ejemplo:

INTEGRALES
Se debe tener presente que aunque existen métodos para calcular gran cantidad de integrales, éstos no siempre son sencillos; incluso hay integrales irresolubles.

 

Autor: 

Editor: Fisicanet ®

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