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Integrales Triples. AP06

Contenido: Cálculo de Volúmenes, Coordenadas Cilíndricas, Integrales de Superficie, Campos Conservativos, Integral por sustitución, Ecuaciones Diferenciales

INTEGRALES TRIPLES

Calculo de Volúmenes:

Vol (v) = ∫∫∫ V dx dy dz

Calculo de Masas: Masa (V) = ∫∫∫ V δ (x, y, z) dx dy dz

Centro de masa: (∫∫∫ V x δ (x, y, z) dx dy dz) /M Momento de inercia: I0 = ∫∫∫ Vd² δ (x, y, z) dx dy dz

Extensión del teorema de Fubini a regiones generales:

∫∫∫ V F (x, y, z) dx dy dz = INTEGRALES TRIPLES F (x, y, z) dx dy dz

Teorema: Cambio de variables:

Dada f: k ⊂ ℜ³ → R, F continua, G: r*⊂ ℜ³ → ℜ³, G ∈ C¹, inyectiva con G (k*), tal que det (DG (u, v, w) ≠ 0,∀ (u, v, w)∈ k*): entonces: ∫∫∫ kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ kF(g(u, v, w)) .|det (DG)|du dv dw

F(x, y, z) = dv

F(g(x, y, z)).|det(DG)| = dv
Obs: el teorema sigue siendo valido si det DG (u, v, w) = 0 sobre un conjunto de puntos de medida 0 en k*.

Aplicación: Coordenadas Cilíndricas:

X = r cos θ
Y = r sen θ
Z = z

r = √(x² + y²) (distancia al eje z)
dv =

G (r.cos θ,r.sen θ, z)

∫∫∫ kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ k*F(r.cos θ, r.sen θ, z).r.dz.dr.d θ

Método de trabajo:

Ejemplo: Calcular el volumen de μ limitado por √(x² + y²)≤ z ≤ R

Vol = INTEGRALES TRIPLES r dz dr d θ = INTEGRALES TRIPLES (Rr-r²) dr d θ = Integral entre 0 y 2π Rr²/2-r³/3 | INTEGRALES TRIPLES d θ = ℜ³/6 Integral entre 0 y 2π d θ = π ℜ³/3

Integrales de Superficie:

en superficie (reemplazar Z por su valor en la superficie)

Area (s) = ∫∫ Axy |∇F|/|F´z|dx dy; Φ (flujo) = ∫∫ Axy F .∇F /|F´z| dx dy

Ejemplo: s: z = √(x² + y²) Limites: x² + y² ≤ R

F (x, y, z) = √(x² + y²)-z

F´ x = x/ (√(x² + y²))

∇F = (x/ (√(x² + y²)), y/ (√(x² + y²)), -1)

F´ y = y/ (√(x² + y²))

F´ z = -1

|∇F| = √2

 

Area Lateral = ∫∫ Axy |∇F|/|F´z| dx dy =∫∫ Axy2.dx dy =

2 ∫∫ Axy dx dy

= √2π ℜ²

Area del circulo

Teorema de Gauss (o de la divergencia):

Obs: Con este método se calcula el vector normal exterior a la superficie.

INTEGRALES TRIPLES F ds = ∫∫∫ V ∇.F dx dy dz

F :Divergencia

Te dan el flujo de una determinada función F (x, y, z). Delimitan una superficie con planos o superficies y piden calcular el flujo a través de la superficie frontera.

Divergencia: ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z (derivadas de las componentes de la función del flujo)

Obs: Si me queda el flujo neto negativo, significa que tiene sentido opuesto al normal exterior.

Puntos: Fuente: origina campo (campo positivo). Sumidero: recibe campo. Pasante: Lo que entra = lo que sale.

Teorema de Stocks (o del rotor): INTEGRALES TRIPLES F dl = ∫∫ S ∇ x F.ds

Obs: La relación entre la orientación de la curva y de la superficie esta dada por la regla de la mano derecha.

En practica: Te piden calcular la circulación de una F (x, y, z) a lo largo de una curva.

∇xF =

i

j

k

∂/∂x

∂/∂y

∂/∂z

F1

F2

F3

(F1, F2, F3) Componentes del campo que circula

Componente i = ∂/∂y F3 - ∂/∂z F2 (derivada respecto de y de F3 menos la derivada respecto de z de F2)

INTEGRALES TRIPLES F dl = ∫∫ Axy ∇ x F ∇F / |F´z| El gradiente del plano en el que encuentro la figura

El gradiente me define un sentido de recorrido con la regla de la mano derecha. Cuando recorro la figura debo respetar este sentido (es distinto Integral entre 0 y πque Integral entre π y 0)

Teorema de Green (Teorema de Stokes aplicado al plano xy):

Integral circular F dl = ∫∫ S (∂f2/∂x -∂F1/∂y) dx dy

Obs: El sentido de circulación corresponde a recorrer la curva de manera tal que la región S queda a la izquierda (en general sentido antihorario).

Obs: verificar que el campo F y sus derivadas están definidos en toda la región S.

Aplicación al calculo de áreas: Integral circular F dl = ∫∫ S (∂f2/∂x -∂F1/∂y) dx dy. Si (∂f2/∂x - ∂F1/∂y) es una constante K:

Integral circular F dl = ∫∫ SK dx dy con K ≠ 0 = K Area (S)⇒Area (S) = 1/K Integral circular F dl, con (∂f2/∂x - ∂F1/∂y) = K ≠ 0

Caso particular: F (x, y) = (0, x) ⇒ ∂f2/∂x - ∂F1/∂y = 1 Luego: Area (S) = Integral circular (0, x) dl

Ejemplo: Calculo del Area de la elipse:

x²/a² + y²/b² = 1 G (θ) = (a cos (θ),b sen (θ))

Area (S) = Integral circular (0, x) dl ⇒ Integral entre 0 y 2π (0, a cos (θ)) . (a (-sen (θ)), b cos (θ)) d θ = Integral entre 0 y 2π a b cos² (θ) d θ =

= a b (θ /2 + sen (2 θ)/4)|02.π (por tabla) = a b (π + 0) = a b π

Campos Conservativos:

∃ φ/ F (x) = ∇ φ (x)

Condición necesaria: Derivadas cruzadas iguales.

Búsqueda de φ:

F = (f1, f2) = (φ ´x, φ ´ y)

Luego, se construye con los términos comunes colocados 1 sola vez mas los términos no comunes mas una constante pura

φ = φ ´x dx = f1 dx = f1 (x, y) + k (y)

φ = φ ´y dy = f2 dy = f2 (x, y) + δ (x)

Integral por sustitución:

Integral entre 0 y 2 r √(4- r²).dr = Integral entre 4 y 0u(-du/2) = 1/2 Integral entre 0 y 4udu = 1/2 1/2 1/ √u|04 = 1/2 1/2 1/4 = 1/16

u = 4- r²
du = -2 r dr

Nuevos limites de interacción: reemplaza 0² en u = 4 - r² ⇒

4-2² = 0
4-0² = 4

0
4

du/2 = r dr

Para el calculo de Volúmenes y áreas se puede verificar con formulas ya conocidas:

vol esfera = 4/3 π ℜ³ área elipse = a b π Luego, sumando y restando estos valores conocidos, se puede verificar el resultado.

Ecuaciones Diferenciales:

Orden: el numero de la derivada mas alta.

Grado: el exponente de la derivada mas alta.

(Y´)² + Y = 4 (primer orden segundo grado)

Ecuación de 1er orden: y´ + a (x) y = b (x) lineales

Identifico a (x) y b (x) . Si y´ tiene un coeficiente se lo debe sacar multiplicando a ambos miembros por 1/ constante (esta constante puede ser una x).

Calculo u (x): u (x) = e a (x) dx.

Yg (x) = (u (x) b (x) dx + c) / u (x) y averiguo la solución general. Calculo c para el problema en particular con algún punto dato que nos hayan dado.

Regla de la mano derecha:

Demostraciones que se piden para los finales:

Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa:

∃ F´ (x0, ř) ⇔ ∃ F i´ (x0, ř), 1≤ i≤ m

F´ (x0, ř) = lim h → 0 (F (x0 + h ř) - F (x0))/h = lim h → 0 G (h)

∃ lim h → 0 G (h) ⇔ ∃ lim h → 0 Gi (h), 1≤ i ≤ m

lim h → 0 Gi (h) = lim h → 0 (Fi (x + h ř) - Fi (x0)) /h = F i´ (x0 + h ř), 1≤ i ≤m

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