Análisis Matemático

Integrales: Cambio de coordenadas en integrales dobles. De cartesianas a polares y viceversa. Volumen de un sólido de revolución. Baricentro de un dominio plano. Teorema de Pappus-Guldin

INTEGRALES DOBLES

CAMBIO DE COORDENADAS EN LAS INTEGRALES DOBLES

De coordenadas cartesianas a polares:

Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.

1. Cambio de dominio: D→ D´

2. Cambio de función: f(x,y)→ f(r.cos θ,r.sen θ)

3. Cambio de elemento de área: dx.dy = r.d θ.dr

∫∫D f(x, y)dx.dy =∫∫ f(r.cos θ,r.sen θ)r.d θ.dr

Cálculo del área de un dominio:

Area de un dominio

De coordenadas cartesianas a curvilíneas:

Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.

Siendo:

x = x(u,v)

y = y(u,v)

Resulta:

∫∫D f(x, y)dx.dy =∫∫ f(x(u,v), y(u,v))|J(u, v)|du.dv

dx.dy→ |J(u, v)|du.dv

ó

siendo:

x = r.cos θ

→ J(θ,r) =

-r.sen θ

cos θ

= -r

y = r.sen θ

r.cos θ

sen θ

Resulta:

∫∫D f(x, y)dx.dy =∫∫ f(r.cos θ,r.sen θ)r.d θ.dr

VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCION

Para el dominio:

D = {(x, y): x1 ≤ x ≤ x2, α (x) ≤ y ≤ β(x)}

Alrededor del eje x:

Volumen de un sólido de revolución

BARICENTRO DE UN DOMINIO PLANO

Si: δ = δ (x, y)

El punto G = (xG, yG) es el baricentro, según:

xG =

∫∫Dx.δ(x,y).dx.dy

∫∫Dδ(x,y).dx.dy

 

yG =

∫∫Dy.δ(x,y).dx.dy

∫∫Dδ(x,y).dx.dy

Si δ es constante:

Baricentro de un dominio plano

Teorema de Pappus-Guldin: El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.

Vx = AD.lG

Autor:   

Editor: Fisicanet ®

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet".

Por favor, “copia y pega” bien el siguiente enlace:

¡Gracias!

Fisicanet: Matemática, física, química, biología, historia, cultura y tecnología