Análisis Matemático

Integrales: Condiciones para que una integral se anule. Cambio de coordenadas a esféricas y a curvilíneas. Baricentro de un sólido.

INTEGRALES TRIPLES

Integrales triples

Condiciones para que una integral se anule:

Con respecto al plano y = 0 (xz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano y = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio f(x,y,z) la condición de simetría es:

f(x,y,z) = f(-x,y,z)

Para la integranda g(x,y,z) la condición de antisimetría es:

g(x,y,z) ≠ g(-x,y,z)

Con respecto al plano x = 0 (yz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano x = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio f(x,y,z) la condición de simetría es:

f(x,y,z) = f(x,-y,z)

Para la integranda g(x,y,z) la condición de antisimetría es:

g(x,y,z) ≠ g(x,-y,z)

 

Primera Fórmula:

Integrales triples

Para un volumen:

∫∫∫D dx.dy.dz = ∫∫Dxy [ β (x,y) - α (x,y).dx.dy]

Segunda Fórmula:

Integrales triples

Para un volumen:

Integrales triples

CAMBIO DE COORDENADAS

A coordenadas esféricas:

Conviene cuando el dominio es esférico, cono con tapa esférica, para lograr límites de integración constantes.

x = r.cos θ.sen φ

y = r.sen θ.sen φ

z = r.cos φ

dx.dy.dz = |J|.d θ.dr.d φ

∫∫∫D f(x,y,z)dx.dy.dz = ∫∫∫ f(r.cos θ.sen φ,r.sen θ.sen φ,r.cos φ)r².d θ.dr.d φ

A coordenadas curvilíneas:

x = x(u,v,w)

y = y(u,v,w)

z = z(u,v,w)

dx.dy.dz = |J|.(u,v,w)du.dv.dw

∫∫∫D f(x,y,z)dx.dy.dz = ∫∫∫ f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|.(u,v,w)du.dv.dw

BARICENTRO DE UN SOLIDO

xG =

∫∫∫Dx.dx.dy.dz

∫∫∫ Ddx.dy.dz

 

yG =

∫∫∫Dy.dx.dy.dz

∫∫∫ Ddx.dy.dz

 

zG =

∫∫∫Dz.dx.dy.dz

∫∫∫ Ddx.dy.dz

Baricentro: G(xG, yG, zG)

Relaciones Utiles:

cos² x + sen² x = 1

2sen x.cos x = sen 2x

cos² x - sen² x = cos 2x

cosh² x - senh² x = 1

cosh α = (ex + e-x)/2

senh α = (ex - e-x)/2

sen² α .d α = ½.(1 - sen α .cos α)

cos² α .d α = ½.(1 + sen α .cos α)

 

Autor:    

Editor: Fisicanet ®

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