Problema n° 1 de integrales
Enunciado del ejercicio n° 1
Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo
{(x, y, z): x² + y² + z² ≤ R, z ≥ 0}
Desarrollo
Fórmulas:
Para sólidos homogéneos:
Iz = ∭D (x² + y²) dx·dy·dz
Solución
Se trata de media circunferencia con centro en el origen, por lo tanto el volumen será:
Vc = 4·π·r³/3
½·Vc = ½·4·π·r³/3
½·Vc = ⅔·π·r³
Como:
r = √R
½·Vc = ⅔·π·(√R)³
½·Vc = ⅔·π·R3/2
Calculamos la integral triple con respecto al eje Z:
∭D (x² + y²) dx·dy·dz
Efectuamos un cambio de coordenadas:
| x = r·(cos θ)·(sen φ) y = r·(sen θ)·(sen φ) z = r·cos φ | ⟶ |J| = r²·sen φ |
∭D (x² + y²) dx·dy·dz
∭D' [(r·cos θ·sen φ)² + (r·sen θ·sen φ)²]·r²·sen φ·dθ·dφ
∭D' (r²·cos² θ·sen² φ + r²·sen² θ·sen² φ)·r²·sen φ·dθ·dφ
∭D' r²·sen² φ·(cos² θ + sen² θ)·r²·sen φ·dθ·dφ
∭D' r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr
Los límites de integración son:
0 ≤ r ≤ √R
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π/2
| ∭D' r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr = ∫ | 2·π | dθ∫ | √R | r4·dr∫ | π/2 | sen³ φ·dφ |
| 0 | 0 | 0 |
Resolviendo, y como θ no depende de las otras variables:
| = [θ] | 2·π | ∫ | √R | r4·dr∫ | π/2 | sen φ·(1 - cos² φ)·dφ = |
| 0 | 0 | 0 |
| = 2·π·∫ | √R | r4·dr∫ | π/2 | (sen φ - sen φ·cos² φ)·dφ = |
| 0 | 0 |
| = 2·π·∫ | √R | r4·dr[∫ | π/2 | sen φ·dφ - ∫ | π/2 | cos² φ·d(sen φ)] = |
| 0 | 0 | 0 |
| = 2·π·∫ | √R | [(-cos φ) | π/2 | + ⅓·(cos³ φ) | π/2 | ]·r4·dr = |
| 0 | 0 | 0 |
| = 2·π·∫ | √R | [(-cos π/2 + cos 0) + ⅓·(cos³ π/2 - cos³ 0)]·r4·dr = |
| 0 |
| = 2·π·∫ | √R | [(-0 + 1) + ⅓·(0 - 1)]·r4·dr = |
| 0 |
| = 2·π·∫ | √R | (1 - ⅓)·r4·dr = |
| 0 |
| = 2·π·⅔·∫ | √R | r4·dr = |
| 0 |
| = 2·π·⅔·[⅕·r5] | √R | = |
| 0 |
| = | 4·π·R5/2 | = |
| 15 |
Luego:
Iz = (M/V)·∭D (x² + y²) dx·dy·dz
| Iz = | M | · | 4·π·R5/2 |
| ⅔·π·R3/2 | 15 |
| Iz = | 2·M·R5/2 - 3/2 |
| 5 |
| Iz = | 2·M·R2/2 |
| 5 |
Resultado, el momento de inercia del sólido es:
Iz = ⅖·M·R
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina