Problema n° 5 de integrales - TP11

Enunciado del ejercicio n° 5

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (u² - 1, u·v, v + 2)

En el punto (0, 2, 0), siempre y cuando el problema esté bien puesto.

Desarrollo

Fórmulas:

Plano tangente: Z·(X_u·X_v) = X₀·(X_u·X_v)

Recta normal: Z = X₀ + t·(X_u·X_v)

Solución

u² - 1 = 0 ⇒ u² = 1 ⇒ u = ±1

u·v = 2 ⇒ u·(-2) = 2 ⇒ u = -1

v + 2 = 0 ⇒ v = -2

(u, v) = (-1, -2)

Sus derivadas son:

X_u = (2·u, v, 0)

X_v = (0, u, 1)

En el punto son:

X_u|_{(-1, -2)} = (-2, -2, 0)

X_v|_{(-1, -2)} = (0, -1, 1)

X(-1, -2) = (0, 2, 0)

El producto vectorial es:

X_u·X_v = (-2, 2, 2)

Plano tangente:

Z·(X_u·X_v) = X₀·(X_u·X_v)

(x, y, z)·(-2, 2, 2) = (0, 2, 0)·(-2, 2, 2)

-2·x + 2·y + 2·z = 4

-x + y + z = 2

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a una superficie