Análisis Matemático

Integrales: Integrales superficiales de funciones. Integrales dobles. TP-05

Ejercicios extraídos del libro "LECCIONES DE ANALISIS II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

Integrales superficiales de funciones

Fórmulas aplicables:

∫∫ S f(X).dσ = ∫∫ D f(X(u, v)).||Xu ∧ Xv||.du.dv

Ejercicio: Calcular las coordenadas del baricentro de la superficie:

z = x² + y²

Para:

z ≤ 1

Resolución:

Como la superficie presenta simetría del dominio con respecto a los planos y = 0 y x = 0, y la integranda presenta antisimetría con respecto a los mismos planos, resulta:

XG = YG = 0

Luego:

Integrales superficiales de funciones

Primero parametrizamos la superficie:

x = u

y = v

z = u² + v²

X(u, v) = (u, v, u² + v²)

Luego hallamos el vector normal a la superficie:

Xu = (1, 0, 2.u)

Xv = (0, 1, 2.v)

Xu ∧ Xv = (1, 0, 2.u)∧ (0, 1, 2.v) =

E1

E2

E3

= (-2.u, -2.v, 1)

1

0

2.u

0

1

2.v

Xu ∧ Xv = (-2.u, -2.v, 1)

Preparamos las partes para armar la integral:

Integrales superficiales de funciones

f(X(u,v)) = u² + v²

Armamos la integral:

I = ∫∫ S z.dσ = ∫∫ D f(X(u, v)).||Xu ∧ Xv||.du.dv

Integrales superficiales de funciones

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r.cos θ

v = r.sen θ

→ |J| = r →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2.π

Integrales superficiales de funciones

Resolvemos:

Integrales superficiales de funciones

Aplicando un cambio de variable:

Integrales superficiales de funciones

Para el denominador:

AD = ∫∫ Sdσ = ∫∫ D ||Xu ∧ Xv||.du.dv

Integrales superficiales de funciones

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r.cos θ

v = r.sen θ

→ |J| = r →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2.π

Integrales superficiales de funciones

Resolvemos:

Integrales superficiales de funciones

Mediante un cambio de variable:

w = 4.r² + 1

dw = 8.r.dr

(1/8).dw = r.dr

Integrales superficiales de funciones

La coordenada es:

Integrales superficiales de funciones

El baricentro es:

Integrales superficiales de funciones

 

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Artículo: Ejercicios resueltos de integrales superficiales. TP-05

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