Análisis Matemático

Límites: Función constante. Función identidad. Función potencial, racional, exponencial y logarítmica. Clasificacion de puntos de discontinuidad

CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES

Función constante

La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.

x tiende a x subcero f(x) = k

x tiende a x subcero f(x) = f(x0)

f(x0) = k

Función identidad

La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.

x tiende a x subcero f(x) = x0

x tiende a x subcero f(x) = f(x0)

f(x0) = x0

Función potencial

La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.

x tiende a x subcero f(x) = x0n

x tiende a x subcero f(x) = f(x0)

f(x0) = x0n

Función polinómica

La función f(x) = a0 + a1.x + a2.x² + ... + an.xn es una función continua en todos

los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.

x tiende a x subcero f(x) = a0 + a1.x + a2.x² + ... + a0.xn

x tiende a x subcero f(x) = f(x0)

f(x0) = a0 + a1.x + a2.x² + ... + a0.xn

Función racional

La función f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas, es continua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.

Función exponencial

La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.

x tiende a x subcero f(x) = ax0

x tiende a x subcero f(x) = f(x0)

f(x0) = ax0

Función logarítmica

La función f(x) = loga x, siendo a > 1,es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +∞).

x tiende a x subcero f(x) = loga x0

x tiende a x subcero f(x) = f(x0)

f(x0) = loga x0

Ejercicio: estudio de los puntos de continuidad

1) Indicar en qué puntos la función f(x) = (2.x² - 3)/(x - 3) es discontinua.

Resolución:

La función es continua en todos los puntos salvo en los que se anula el denominador, ya que en éstos la función no estará definida; es decir, en x = 3.

La función es continua en todos los puntos salvo en x = 3, en el que es discontinua.

2) Realizar un estudio e indicar si la función f(x) = (x - 5)/(x² - 3.x - 10) es continua en los intervalos (-3, 0) y (0, 2).

Resolución:

- la función es continua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula. El denominador se anula en x = -2 y en x = 5

- El punto x = -2 está en el intervalo (-3, 0), luego en éste la función no es continua.

- 2 ∉ (0, 2) y 5 ∉ (0, 2); luego en este intervalo la función f(x) sí es continua.

CLASIFICACION DE PUNTOS DE DISCONTINUIDAD

Para que una función f(x) sea discontinua (o no continua) en un punto x0 deberá darse una, al menos, de estas condiciones:

a) No existe Límite tendiendo a menos x f(x) o no existe Límite tendiendo a mas x f(x)

b) Los límites laterales existen, pero Límite tendiendo a menos x f(x) ≠ Límite tendiendo a mas x f(x)
c) Existe x tiende a x subcero f(x), pero x tiende a x subcero f(x) ≠ f(x0)
Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o inevitable).

Discontinuidad evitable

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando,existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso c):

x0 es un punto de discontinuidad evitable ⇔ x tiende a x subcero f(x) ≠ f(x0)

La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x0,el valor de su límite.

En este caso a x tiende a x subcero f(x) = f(x0) se le denomina verdadero valor de la función en x0, y es el que hace la que la función sea continua en ese punto.

Discontinuidad inevitable

Una función presenta una discontinuidad inevitable en un punto x0cuando o bien no existe algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b), en cuyo caso no existe el límite.

x0 es un punto de discontinuidad inevitable ⇔

No existe Límite tendiendo a menos x f(x)

o no existe Límite tendiendo a mas x f(x)

o no existe x tiende a x subcero f(x)

Ejercicio: estudio y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función

Realizar un estudio de los puntos de discontinuidad de la función

f(x) =

x + 2 , si x ≠ 1
1, si x = 1

Resolución:

- la función x + 2 es continua en todos los puntos.

- la función f(x) es continua en todos los puntos salvo en x = 1; ya que f(1) = 1

Límite tendiendo a menos 1 f(x) = Límite tendiendo a menos 1 x + 2 = 3

Límite tendiendo a mas 1 f(x) = Límite tendiendo a mas 1 x + 2 = 3

Límite tendiendo a 1 f(x) ≠ f(1)

Si se asigna a f(1) el valor 3, valor de Límite tendiendo a 1 f(x), se evita la discontinuidad y entonces f(x) = x + 2 es continua en todos los puntos.

El verdadero valor de la función en x = 1 es 3.

2) Estudiar la discontinuidad (evitable o no) de la función f(x) =

2, si x < 3
1, si x ≥ 3

Resolución:

- f(x) es continua en todos los puntos salvo en x = 3.

Límite tendiendo a menos 3 f(x) = Límite tendiendo a menos 3 2 = 2

Límite tendiendo a mas 3 f(x) = Límite tendiendo a mas 3 1 = 1

Límite tendiendo a menos 3 f(x) ≠ Límite tendiendo a mas 3 f(x)

La discontinuidad es inevitable.

3) Estudiar y clasificar los puntos de discontinuidad de la función f(x) = (x² - 4)/(x - 2)

Resolución:

- la función es continua en todos los puntos salvo en los que se anule el denominador: x = 2

- Se procede a ver si la discontinuidad en x0 = 2 es evitable o no:

Límite tendiendo a 2 (x² - 4)/(x - 2) = Límite tendiendo a 2 (x - 2).(x + 2)/(x - 2) = Límite tendiendo a 2 (x + 2) = 4

- El límite existe y es 4, por lo tanto la discontinuidad en x0 = 2 es evitable. El verdadero valor de la función en x0 = 2 es 4.

Asignando a f(2) el valor 4, la función

f(x) =

(x² - 4)/(x - 2), si x ≠ 2
4, si x = 2

es continua en todos los puntos.

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