Análisis Matemático

Límites: Teorema de amplitud de R. Límites infinitos. Series numéricas.

Sucesiones y series de números reales

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PRIMERA PARTE

Una sucesión de números reales es, formalmente, una aplicación x: n∈ N → xn ∈ R, la representaremos como (xn), (xn)n ∈ N, {x1, x2,.....}

En el conjunto ξ de las sucesiones de números reales se definen las operaciones:

- Adición: (xn) + (yn) = (xn + yn)

- Multiplicación: (xn) (yn) = (xn yn)

- Multiplicación por escalares: λ (xn) = (λ xn)

(ξ, +, ·, ·escalar) es en álgebra sobre R conmutativo y unitario con divisores de 0, es decir, hay elementos que no son el 0 cuyo producto es 0.

Por ejemplo: (1, 0, 1, 0, 1, 0,.........) (0, 3, 0, 3, 0, 3,..........) = (0, 0, 0, 0, 0, 0,.........)

La adición es asociativa, conmutativa, neutro y opuesto.

La multiplicación es asociativa, conmutativa y con unidad

La multiplicación es distributiva respecto a la adición.

λ [ μ (xn)] = [λ.μ] (xn)

λ [(xn) + (yn)] = λ (xn) + λ (yn)

[ λ + μ ] (xn) = λ (xn) + μ (yn)

1 (xn) = (xn)

λ [(xn) (yn)] = [ λ (xn)] (yn)

(ξ,+) ES un grupo abeliano

(ξ,+, ·) es anillo conmutativo y unitario |

(ξ,+, escalar) espacio vectorial sobre R | + la proposición 14 álgebra conmutativa y unitaria

sobre R.

Definición:

(xn) es convergente a "a", lim (xn) = a cuando:

∀ ε> 0, ∑ υ ∃N / n > υ ⇒|xn - a| < ε

Definición:

(xn) es de Cauchy cuando:

∀ ε> 0 ∑ υ ∃N / p, q > υ ⇒ |xp - xq| < ε

Vimos para las sucesiones en Q que convergente ⇒ Cauchy.

Veremos para las sucesiones en R que convergente ⇔ Cauchy.

Vimos para las sucesiones en Q que toda sucesión de Cauchy (o convergente) es acotada. El recíproco es falso (0, 1, 0, 1, 0, 1,........) es acotada pero no es de Cauchy.

Demostración:

Sea (xn) de Cauchy, esto significa que:

(dado 1 > 0) / ∑ υ ∃N / n > 0 ⇒ |xn - x υ | < 1

Por tanto:

|xn| - |x υ |≤|xn - x υ | < 1 ⇒|xn| < 1 + |x υ |

Luego M = máx. {|x1|, |x2|,........, |x υ -1|,1 + |x υ |}es tal que ∀n ∈ N, |xn| ≤ M

También vimos que la suma y el producto de sucesiones de Cauchy es de Cauchy (ver construcción de R a partir de Q). Ahora consideramos el producto por escalares.

Teorema:

Si (xn) es una sucesión de Cauchy de números reales (λ xn) es también de Cauchy.

Fijemos arbitrariamente el número real r > 0.

m ≥ υ0,n ≥ υ0 ⇒|xm - xn| ≤ r/ λ

Luego se tiene:

|(xm + xm + .. λ veces.....+xm) - (xn + xn +.. λ veces.....+xn)|≤ r/ λ + ... λ veces....+ r/ λ = (r/ λ) · λ

Luego |(xm + xm + .. λ veces.....+xm) - (xn + xn +.. λ veces.....+xn)| ≤ r

Definición:

Se dice que a ∈ R es valor de adherencia de (xn) cuando:

∀ ε> 0, ∀ υ ∈ N, ∃n > υ / |xn - a| < ε

Es decir, en ]a- ε,a+ ε [ hay infinitos, pero fuera de él pueden quedar finitos o infinitos.

(Ver que la definición dice exactamente lo anterior)

Ejemplos:

(1, 2, 1, 2, 1, 2, ......) Tiene a 1 y 2 como valores de adherencia.

(1, 2, 1, 3, 1, 4, ......) Tiene a 1 como único valor de adherencia.

(1, ½, 1, 1/3, 1, ¼, .....) Tiene a 1 y 0 como valores de adherencia.

(1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ......) Tiene a N como conjunto de valores de adherencia.

(1, 2, 3, 4, .......) No tiene ningún valor de adherencia.

Importante: Sabemos que Q es numerable y es denso en R (en todo entorno de todo número real hay infinitos racionales), por tanto existe una sucesión (xn) cuyo conjunto de términos es todo Q.

Al numerar Q resulta la siguiente sucesión: {0, 1/1, -1/1, ½, 2/2, 2/1, -2/1, -2/2, -1/2,...}

¿Cuáles son los valores de adherencia de esta sucesión? Todos los números reales (R).

Proposición:

A⊂ R es valor de adherencia de xn si sólo si:

- o a se repite infinitas veces en la sucesión.

- o a es punto de acumulación del conjunto de los términos de la sucesión.

Naturalmente pueden ocurrir las dos cosas a la vez: (0, 1, 0, ½, 0, 1/3....)

Demostración:

Si A es valor de adherencia de xn entonces ∀ ε> 0, ∀ υ ∈ N, ∃n > υ / |xn - a| < ε

Luego en ]a- ε,a+ ε [ hay infinitos términos de la sucesión xn, si en dicho intervalo no hay puntos distintos a "a", a se repite infinitas veces, si por el contrario hay términos diferentes de a entonces a es un punto de acumulación de xn.

Proposición:

Toda sucesión acotada de números reales tiene algún valor de adherencia.

Demostración:

Si el conjunto de los términos de la sucesión es finito entonces alguno se repite infinitas veces y es por tanto valor de adherencia de dicho conjunto, si es infinito, como es acotado tiene algún punto de acumulación de acumulación (Tª de Bolzano) que es, por tanto, valor de adherencia.

Proposición:

El conjunto de los valores de adherencia de una sucesión es cerrado.

Demostración:

Sea A el conjunto de los valores de adherencia de (xn). Hemos de probar cualquiera de estas dos cosas:

1° A contiene a todos sus puntos de acumulación.(Ejercicio)

2° A es cerrado.

2° Que Ac es abierto significa que para todo a∈ A ∃r > 0 / ]a-r, a+r[ ⊂ Ac. Si esto no fuera cierto, en todo ]a-r, a+r[, con r > 0, habría puntos de A. Por tanto, en todo ]a-r, a+r[ habria infinitos términos de (xn) y a sería valor de adherencia de (xn), es decir a ∉ Ac.

Corolario:

Si (xn) es una sucesión acotada entonces el conjunto de sus valores de adherencia es compacto. Por consiguiente, existen el mínimo y el máximo de los valores de adherencia de la sucesión, los cuales se llaman respectivamente límite inferior de la sucesión y límite superior de la sucesión.

Ejemplos:

Lim inf (1, 2, 1, 2,......) = 1; lim sup (1, 2, 1, 2, 1, 2........) = 2

Lim inf (1/n) = 0 =lim sup (1/n)

Lim inf (1, 1,2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ........) = 1

Lim sup (1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ......) = no existe.

Una sucesión no acotada inferiormente (superiormente) no tiene límite inferior (superior). A veces se dice que dicho límite es "-4" (+4)

El ser acotada inferiormente (superiormente) no garantiza la existencia de límite inferior (superior). Por ejemplo (1, 2, 3, 4,........)

Ni que decir tiene que si (xn) es convergente, su límite es valor de adherencia de (xn)

Más aún, hemos visto que toda sucesión acotada de números reales tiene algún valor de adherencia, (en Q esto es falso. Por ejemplo: La sucesión (1, 1´4, 1´41, 1´414,.....) no tiene ningún valor de adherencia en Q. Si lo tiene en R; es convergente a √2)

Proposición:

(xn) acotada, es convergente si y sólo si tiene un único valor de adherencia (que es su límite).

Demostración:

Si (xn) converge a "a", entonces en todo intervalo ]a- ε, a+ ε [ están todos lo xn ´s, salvo finitos.

Por tanto en ]-4,a- ε [ y en ]a+ ε,+4[ hay solo finitos xn ´s y, por tanto, en esas semirectas no puede haber ningún punto de adherencia de (xn). Como eso es cierto para todo ε > 0, en ]-4,a[ y ]a, +4[ no puede haber ningún punto de adherencia. Por otra parte, ya sabemos que toda sucesión convergente es acotada.

⇒) (xn) → a ⇒(xn) acotada, sólo tiene a "a" como valor de adherencia.

Ü) (xn) es acotada⇒Tiene un único valor de adherencia ⇒ (xn) es acotada?

Teorema de amplitud de R

Toda sucesión de Cauchy en R es convergente (el espacio métrico R d(x,y)=|x-y| es completo).

Demostración:

Sea (xn) de Cauchy. Entonces es acotada y, por tanto, tiene algún valor de adherencia. Con lo que acabamos de ver, bastará probar que ese valor de adherencia es único.

Supongamos que a y b fueran valores de adherencia distintos de (xn). Sea ε =|a-b|/3

En ]a- ε,a+ ε [ y en ]b- ε,b+ ε [ hay infinitos términos de la sucesión.

Por tanto, existen infinitos p, q ∈ N tales que: |xp-xq| > ε y xn no sería de Cauchy.

Definición:

Se dice (xn) es monótona creciente (decreciente) cuando,∀n ∈ N, xn ≤ xn+1 (respectivamente xn ≥xn+1), la monotonía se dice que es estricta cuando el signo es < (respectivamente >)

Proposición:

Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Además, si es creciente lim (xn)=sup {xn / n ∈ N}, si es decreciente lim (xn) = inf. {xn / n ∈ N}

Demostración:

Supongamos que (xn) es creciente y acotada. Sea a el sup {xn / n ∈ N}

Sucesiones y series de números reales

De la definición de sup. Se sigue que:

-a la derecha de a no hay ningún xn

-∀ ε> 0, a la derecha de a- ε hay algún xn. Sea este el x υ . Entonces por ser (xn) creciente,

n>υ ⇒a- ε < xn ≤ a

|xn - a| < ε (c.q.d.)

Notación:

Lim (xn) = a ⇔ (xn) → a

Para indicar que (xn) es creciente y que a es su límite se puede escribir: (xn) ä a.

Para indicar que es decreciente y que a es su límite: (xn) æ a.

Supongamos que (xn) es acotada, además tiene algún punto de adherencia.

El conjunto de los valores de adherencia es por tanto acotado. Además el conjunto de los valores de adherencia de cualquier sucesión es un conjunto acotado (podría ser Ø).

Por tanto, el conjunto de los valores de adherencia de una sucesión acotada es un conjunto no vacío, cerrado y acotado (compacto).

Por ser ese conjunto compacto y no vacío existen el mínimo y el máximo de sus adherentes. Por definición,este mínimo y máximo son el límite inferior y el límite superior de (xn).

Ejercicio: Supongamos que (xn) es una sucesión acotada.

Demostrar que lim. Inf.(xn)=sup {inf{x0, x1, x2,........}, inf{x1,x2,..........}, inf{x2,...}....}

Lim. sup (xn) = inf {sup {x0, x1,....}, sup {x1, x2,....},sup {x2, x3,.........}.....}

Indicación:

Por ser xn acotada existen esos inf `s y sup ´s la sucesión (inf{x0, x1,...},inf{x1, x2,...}...) es monótona creciente.

Suponemos: Lim inf (xn) = sup [inf {x0, x1, x2,...}, inf {x1,x2,...}...] = α

Todos los inf.´s están en (-4, α) y en (α + ε, α) hay algún inf pues sino, α no sería el límite, pero al ser la sucesión de inf ´s es creciente, en este último intervalo están todos los inf ´s salvo finitos. Falta Acabarlo.

Algunos ejemplos interesantes de límites:

- ∀ a > 0, lim n√a = 1

Si a = 1 evidente.

Si a > 1 escribimos xn = n√a - 1

Se trata de probar que (xn) → 0

(xn + 1)n = 1 + (n1) xn + (n2) xn² + ..........> 1 + n xn ⇒ xn < (a-1)/n → 0

Ejercicio, verlo para a < 1 (Indicación: tomar 1/a)

- lim n√ n = 1

n = (n√ n - 1 +1)n = 1 + (n1) (n√ n - 1) + (n2) (n√ n - 1)² +.......> 1 + [n(n-1)/2] (n√ n - 1)² ⇒ 0 ≤(n√ n - 1)² ≤2/(n+1) → 0

Ejercicio: Ver que (n√ n - 1)² → 0 ⇒(n√ n - 1) → 0

- lim n√ np = 1 (Ejercicio)

- ∀ a >1, ∀ p, lim np/an = 0

Dice que la "exponencial" puede con la "potencial": el producto de ambas va a donde manda la exponencial. Si p < 0 evidente. Si p > 0 el numerador va a +4 y el denominador también.

np (1/an) → 0

b, p > 0, np/(1+b)n → 0

Falta acabarlo.

Límites infinitos:

Aunque cuando hablamos de la convergencia, o del límite, de una sucesión, dicha convergencia o dicho límite,es a (un) n° real, a veces también se habla de convergencia a +4 ó -4 (de límites infinitos) El contexto suele dejar claro si se están admitiendo "límites infinitos".

Definición:

(xn) converge a +4 (-4) cuando,

∀ ρ ∈ R, ∑ υ ∃N / n > υ ⇒xn > ρ (respectivamente xn < ρ)

Ejemplos:

(1, 2, 3,.......) → +4

(1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 5, 7, 6, 8,...........) → +4

La primera de esas sucesiones es monótona creciente y no acotada, es evidente que cualquier sucesión de este tipo "converge" a +4.

La segunda no es monótona.

(1, 2, 1, 3, 1, 4,......) no converge a nada, ni a un número, ni a +4 ni a - 4.

Por lo mismo, a veces se admiten como valores de adherencia (en particular, como "límite inf." O "límite sup") a +4 y -4.

Definición:

+4 (-4) es valor de adherencia de (xn) cuando, ∀ ρ ∈ R, ∀ υ ∈ N, ∃n > υ / xn > ρ (respectivamente xn < ρ)

Si un sucesión es no acotada superiormente (inferiormente) su límite superior (inferior) es +4 (-4).

Lim sup (1, 2, 1, 3, 1, 4,.......) = +4

Lim inf (1, 2, 1, 3, 1, 4,.......) =1

Lim inf (1, 2, 3,.........) = +4 porque sólo tiene como valor de adherencia +4 = lim sup. (1, 2, 3,.....)

Con este acuerdo (admitir +4 y -4 como posibles valores de adherencia), se verifica:

- Toda sucesión (acotada o no) tiene algún valor de adherencia.

- Toda sucesión (acotada o no) tiene lim inf y sup

R‾ = R U {-4,+4}

Es muy fácil ver que:

(xn) → +4,(yn) → a (-4 < a ≤+4) ⇒(xn + yn) → +4

(xn) → +4,(yn) es acotada inferiormente ⇒ (xn + yn) → +4

(xn) → +4,(yn) → a (a ≠ 0) ⇒(xn · yn) → +4 si 0 < a ≤+4

-4 si -4≤a < 0

(xn) → +4,(yn) está acotada inferiormente por a > 0 (superiormente por a < 0) ⇒ (xn · yn) → +4 (respectivamente -4)

Sin embargo,

Si (xn) → +4 e (yn) → -4,entonces a (xn + yn) le puede pasar cualquier cosa.

Ejemplos:

(xn) = (1, 2, 3,.......), (yn) = (-1, -2, -3,.....), (xn + yn) = (0, 0, 0,.......) → 0

(xn) = (1, 2, 3,......), (yn) = (-2, -4, -6,.....), (xn + yn) = (-1, -2, -3,......) → -4

(xn) = (1, 2, 3,....), (yn) = (-2, -1, -5, -2, -8, -3,.......), (xn + yn) = (-1, 1, -2, 2,-3, 3,....) no converge a nada

Si (xn) → +4 (-4) e (yn) → 0 entonces (xn + yn) cualquier cosa:

(1,2, 3,.......) (1, ½, 1/3,......) = (1, 1, 1,.......) → 1

(1,2, 3,......) (1, ½², 1/3²,........) = (1, ½, 1/3,........) → 0

(1,2, 3,......) (1, 1/√2, 1/√3,.....) = (1, √2, √3,........) → +4

(1, 2, 3, .....) (1, ½², 1/√3,¼², 1/√5,1/6², 1/√7,......) = (1, ½, √3,¼, √5,......)

Series numéricas:

Vamos a tratar de dar sentido a las sumas infinitas (infinitos numerables sumandos).

x1 + x2 +.............+ xn +....... donde los xk son números reales.

Para ello sea (xn) una sucesión de números reales a partir de ella construimos la sucesión de sumas parciales de aquella:

(x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3,........), la cual se suele llamar serie de términos (x1, x2, x3,....) y denotar: 4n=1xn.

Definición:

La serie 4n=1xn se dice sumable, o convergente, a a∈ R cuando la sucesión de sumas parciales (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3.....) es convergente a a.

Es decir, cuando, ∀ ε> 0, ∑ υ ∃N / n > υ ⇒|nk=1 xk - a| < ε

Proposición:

4n=1es sumable si sólo si es de Cauchy, es decir, tal que,

∀ ε> 0, ∑ υ ∃N / υ < p < q ⇒ |qk=p xk| < ε

Demostración:

Si 4n=1xn es sumable entonces:

∀ ε> 0, ∑ υ ∃N / n > υ ⇒|nk=1 xk - a| < ε,

es decir, es convergente a a, por consiguiente es de Cauchy, así pues:

∀ ε> 0, ∑ υ ∃N / p, q > υ ⇒ |qk=p xk| < ε

Corolario:

Condición necesaria para que la serie 4n=1xn sea sumable es que la sucesión de sus términos converja a cero, lim (xn) = 0.

Demostración:

Tómese q = p es la proposición anterior (Verlo)

4n=1xn es sumable ⇒ (xn) → 0

Veamos que el recíproco no se da en alguno de los ejemplos que siguen:

Ejemplos:

1) (xn) = (1, 1, 1, .......) la sucesión de sumas parciales es (1, 2, 3, .......).

2) (xn) = (1, -1, 1, -1,.....) la sucesión de sumas parciales es (1, 0, 1, 0, 1, 0,......) no convergente. En otras palabras, la serie 4n=1(-1)n+1 no es sumable.

En ambos casos (xn) no converge a 0, en el 1° converge a 1 y en el segundo no converge a nada, pues lim inf ≠ lim sup.

3) 4n=11/2n Como hemos dicho, será sumable si la sucesión de sumas parciales (nk=11/2k) es convergente (2,½+1/4, ½+1/4+1/8,.....). El término n-ésimo de estas sumas parciales es la suma de una progresión geométrica de primer término ½ y razón ½.

nk=1 1/2k = ½ + ½² + ½³ +........+ 1/2n = (1er término - siguiente al último) / (1-razón) = = (½ - 1/2n+1)/ ½ = 1 - 1/2n → 1

La serie 4n=11/2n es sumable y su suma es 1.

Naturalmente (1/2n) → 0

Ejercicio:

Estudiar la sumabilidad de las series geométricas 4n=0a rn, donde a, r ∈ R. Si a=0 evidente.

Si a ≠ 0 ver que la serie es sumable si sólo si |r|<1. Ver que, en dicho caso, la suma es a/1-r.

(ar, ar + ar², ar + ar² + ar³,........) El término n-ésimo de estas sumas parciales es la suma de una progresión geométrica:

nk=1a rk = ar + ar² +.........+ a rn = (ar-a rn+1)/1-r = (a/1-r) (r-rn+1) se utiliza |r|<1 → a/1-r

4) la serie armónica:

4n=11/n se verifica que 1/n → 0, luego puede ser sumable.

A diferencia del caso anterior, no conocemos una fórmula que nos diga cuanto vale.

1 + ½ + ......... + 1/n = nk=1 1/k

1+ ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 +.......+ 1/15 + 1/16 + 1/17

S1 = 1 > ½

S2 = 1 + ½ >2/2

S4 > 3/2

S8 > 4/2

S16 > 5/2

Sn > (n+1)/2

Por otra parte como los términos de esta serie son positivo, la sucesión de sumas parciales es monótona creciente: S1< S2 < S3 <..... y ocurre que sustracción S1 < S2 < S4< S8 <... va a +4 Luego (Sn) va a +4 ⇒la serie no es sumable.

Este ejemplo de serie armónica nos falla para poder afirmar que (xn) → 0 no implica 4n=1xn sumable

La serie 4n=1xn es sumable o convergente, cuando su sucesión de sumas parciales: (s1, s2, s3,.......) = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3,.........) es convergente. En dicho caso, al límite de esta sucesión se llama suma de serie y se suele representar de la misma forma que la serie 4n=1xn.

Ya el contexto dice de lo que hablamos es la serie, o caso de ser sumable de su suma.

Vimos que: 4n=1xn es sumable ⇔ (xn) → 0 y que el recíproco es falso.

Ejemplo: la serie armónica 4n=11/n no es sumable, aunque (1/n) → 0

Un ejemplo sorprendente: La serie 4n=11/n "n sin ceros" la expresión decimal de n no tiene ningún cero: 1 + ½ +.......+1/9 + 1/11 +......+1/99 + 1/111 + 1/112 +...........

Pues bien ocurre que la serie armónica "suma" +4 (no es sumable) mientras que esta sí lo es y su suma es menor que 90.

Veámoslo:

Términos 1/n con n de una cifra hay 9, todos ≤1

Términos 1/n con n de dos cifras hay 9², todos < 1/10

Términos 1/n con n de tres cifras hay 9³, todos < 1/100

........................................................................................

Sea (s1, s2,.......) la sucesión de sumas parciales de la serie. Como los términos son positivos, la sucesión es creciente s1 < s2 < s3 <..... Por tanto, es sumable si sólo si es acotada. Es acotada si sólo si lo es alguna de la sucesión:

S9 < 9, s9+9² < 9 + 9²/10, s9+9²+9³ < 9 + 9²/10 + 9³/100, sn < 9 + 9²/10 + .... + 9n/10n-1, esto es una progresión geométrica de primer término 9 y de razón 9/10.

(9-9n+1/10n)/(1-9/10) → n → 4 9/(1-9/10)⇒ Lim (S9+......+9n) = sup {s9+.......+9n / n ∈ N} < 90

Lim Sn ⇒ sup {sn / n ∈ N} < 90

Es desconcertante porque parece que quitamos pocos términos, de los 9 primeros no quitamos ninguno, de los 90 siguientes 9, de los 900 siguientes 171,.............

Ejercicio: Sabiendo que 4n=11/n no es sumable ("suma" +4) ver que tampoco es 4n=11/(an+b), donde a,b > 0

Indicación, la sucesión de sumas parciales de esto es creciente como la de la anterior. En las sucesiones convergentes es lo mismo que ser acotada.

¿Qué ocurre en la sucesión armónica generalizada 4n=11/np?

Si p < 1 1/n < 1/np luego 1 + ½ + ...... + 1/n < 1 + 1/2p + ....... + 1/np

Si p ≤1 la serie no es sumable ("suma" +4)

Si p > 1 tenemos 1/np < 1/n aquel argumento no vale (el que la grande vaya a +4 no implica nada). Vamos a ver que cuando p > 1 4n=11/np es sumable.

1 + 1/2p + 1/3p + 1/4p + 1/5p + 1/6p + 1/7p + 1/8p +...... + 1/15p + 1/16p + ...... + 1/31p + ...

S1 = 1

S1+2 < 1 + 2/2p

S1+2+2² < 1 + 2/2p + 4/4p

.........................................

S1+2+.......+2n < 1 +1/2p-1 + 1/4p-1 + 1/8p-1 + ..... + 1/(2p-1)n = 1+1/(2p-1)+1/(2p-1)² +....+1/(2p-1)n = [1-1/(2p-1)n+1]/(1-2p-1) → n → 4 1/(1-2p-1)

Progresión geométrica de primer término 1 y de razón 1/2p-1 < 1, luego la sucesión (s1+2+....+2n) es acotada ⇒(sn) es creciente y acotada ⇒ es convergente.

Una cosa que nos olvidamos ver en el capítulos de sucesiones:

- Ver que a ∈ A‾ si sólo si a es límite de alguna sucesión cuyos términos son de A (Indicación: trivialmente, si a ∈ A, entonces a es límite de (a, a, a,....),en otro caso, es decir, cuando a ∈ A‾ \ A, resulta que a ∉ A y estamos en el caso siguiente).

- Ver que a ∈ A´ si solo si a es límite de una sucesión cuyos términos son de A y todos distintos, (equivalentemente, todos distintos de a).

Sucesiones y series de números reales

xn ∈ ]a-1/n, a+1/n[, xn ≠ x1, x2, x3,......., xn-1

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Editor: Fisicanet ®

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