Análisis Matemático

Límites: Concepto de subsucesión de una sucesión. Reordenación de series. Teorema de Rieman. Criterios de sumabilidad o de convergencia para series de términos positivos

Sucesiones y series de números reales

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Concepto de subsucesión de una sucesión:

Por definición, una sucesión de números reales es una aplicación de N en R, n → xn.

Supongamos que la aplicación n ∈ N → φ (n) ∈ N es estrictamente creciente, es decir, tal que n < m ⇒ φ(n) < φ (m). Entonces la sucesión:

N → φ(n) → x(φ (n)) = xn

Es una subsucesión de la dada.

Esto significa que una subsucesión de (x1, x2, x3,.....) es "lo que queda de ella" después de quitar finitos o infinitos términos, siempre que queden infinitos. Por ejemplo, subsucesiones de (x1,x2, x3,......) son:

(x4, x5, x6,........)

(x1, x3, x5,........)

(x2, x6, x10, x14,......)

Ejercicio:

- Ver que a es valor de adherencia de (xn) si y sólo si a es límite de alguna subsucesión de (xn).

Si a ∈ A, evidente, a es límite de la subsucesión (a, a, a,....).

Si a ∉ A, entonces a es punto de acumulación de los términos de alguna subsucesión, por lo tanto es valor de adherencia de xn.

- Ver que toda sucesión acotada tiene alguna subsucesión convergente (corolario de la anterior).

- Ver que una sucesión monótona es convergente si sólo si es convergente una de sus subsucesiones.

Las series son una especie de "suma infinita".

Dijimos 4n=1xn es sumable cuando es convergente la sucesión de sumas parciales (sn) = (s1, s2,s3,........) = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3,........)

Lo que nos preguntamos ahora es si estas "sumas infinitas", que son la series, son "asociativas" o "conmutativas" como las sumas finitas de números reales.

La respuesta, en general, es no.

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ..........

4n = 1(-1)n No es sumable porque ((-1)n) no → 0

Aunque no supiéramos eso, es trivial que no es sumable, porque su sucesión de sumas parciales, (1, 0, 1, 0,.......) no es convergente.

Sin embargo, asociando así: (1-1) + (1-1) + (1-1) +......... La serie que resulta es la 0+0+0+.... trivialmente sumable.

1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) +..........., la sucesión que resulta, 1+0+0+0+....... también es sumable, pero de suma 1.

Proposición:

Si 4n=1xn es sumable, entonces como quiera que asociemos sus términos, la serie resultante también es sumable y con la misma suma. (Sí podemos meter paréntesis en las series sumables).

Demostración:

Supongamos que:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +..........

es sumable. Esto significa que la sucesión de sumas parciales (sn) = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3 + x4,........) es convergente.

Introduzcamos esos paréntesis:

x1 + (x2 + x3) + x4 + (x5 + x6 + x7) + x8 + x9 +............

La sucesión de sumas parciales de la serie resultante es (s1, s3, s4, s7,s8, s9,......). Es decir, una subsucesión de (s1, s2, s3,......) que como ésta es convergente y con el mismo límite.

Reordenación de series:

Dada una serie 4n=1xn y una biyección f: N → N, la serie 4n=1xf(n) se llama reordenada de aquella.

Se dice que esa serie es incondicionalmente sumable cuando toda biyección f: N → N 4n=1xf(n) es sumable y con la misma suma que 4n=1xn

Una serie incondicionalmente sumable es una serie en la que la suma infinita es conmutativa.

Ejercicio:

Ver que si 4n=1xn es sumable y si f: N → N es una biyección, tal que f(n) = n, para todos los n ∈ N, salvo finitos, entonces 4n=1xf(n) también es sumable y con la misma suma.

Consideramos la serie 4n=1(-1)n+1/n (es lo que se llama una serie alternada: los signos de sus términos son +, -, +, -, +, -,+,.......)

1 - ½ + 1/3 - ¼ + 1/5 - 1/6 +...........

Por ser alternada y verificarse que (1/n) î 0 es fácil ver que esta serie es numerable (es la serie de valores absolutos de los términos).

Sucesiones y series de números reales (serie armónica alternada es sumable)

s1 = 1

s2 = 1 - ½; s2 < s4 < s6 <......< s5 < s3 < s1

s3 =1 - ½ + 1/3

s4 = 1 - ½ + 1/3 - ¼

luego existen sup {s2n/ n ∈ N} es acotado superiormente por cualquier (s2n+1) y no vacío. Inf {s2n+1 / n ∈ N} es acotado inferiormente, por cualquier (s2n) y no vacío. Además s2n+1 - s2n = x2n+1 → n → 4 0 ⇒sup {s2n} = inf {s2n+1} = la suma de la serie. Además su suma es log. 2.

Estos mismos argumentos sirven para ver que toda serie alternada 4n=1(-1)n xn tal que (xn) î 0 es sumable (ejercicio).

Por otra parte sabemos que la serie 4n=11/n no es sumable ("suma" +4). Por tanto las series 4n=11/2n, 4n=11/(2n-1) no son sumables.

½ + ¼ + 1/6 +...................} Simplemente basta tener en cuenta que las sumas parciales 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +.........} de ½ + ¼ +1/6 +..... son ½ de las sumas parciales de 1 + ½ + 1/3 + ¼ +......, éstas van a +4⇒aquellas también.

Análogamente, se vería el caso de 1 + 1/3 + 1/5 +

Supuesto lo anterior, podemos considerar la serie dada 4n=1(-1)n/n de forma que deje de ser sumable o sume lo que no de la gana (por ejemplo 278)

Reordenemos esa serie de forma que sume 278.

Como 4n=11/(2n-1) "suma" +4,podemos encontrar n ∈ N tal que:

1 + 1/3 + 1/5 +............+1/(2n-1) ≤278 < 1 + 1/3 +..........+ 1/(2n-1) + 1/2n

Sea n2 ∈ N tal que:

1 + 1/3 +...+ 1/2n1 - ½ - ¼ -...-1/(2n2-2)≥ 278 > 1 + 1/3 +...+ 1/2n1 - ½ - ¼ -... - 1/2n2

Empezamos a sumar impares hasta sobrepasa 278, en ese momento restamos 1/n ´s (n par) hasta volver a la izquierda de 278. En ese momento sumamos 1/n ´s, n impar, hasta volver a la derecha de 278,............... Es fácil ver que esta reordenación de la serie dada es sumable, con suma 278, lo que se utiliza en todo esto es que ∑"impares" = +4 y ∑"pares" = -4.

Teorema de Riemann

Si 4n=1xn es una serie con infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, tal que (xn) → 0, y que∑"positivos" = +4 y ∑"negativos" = -4, entonces se puede reordenar de forma que sume lo que queramos. Más aún, se puede reordenar de forma que la sucesión de sumas parciales tenga como conjunto de valores de adherencia cualquier intervalo cerrado (acotado o no)

[a, a], [a, b], [a, +4[,]-4,a], ]-4,+4[

Reordenación de 4n=1(-1)n/n de forma que la sucesión de sumas parciales tenga como valores de adherencia a todos los números reales.

- Sumas positivos hasta sobrepasar al 1 por la derecha.

- Sumas negativos hasta sobrepasar al -1 por la izquierda

- Sumas positivos hasta sobrepasar al 2 por la derecha.

- Sumas negativos hasta sobrepasar al -2 por la izquierda

- Sumas positivos hasta sobrepasar al 3 por la derecha

Ejemplo:

La serie:

2 - 1 + 1 - ½ + 2/3 - 1/3 + 2/4 - ¼ + 2/5 - 1/5 +............... es alternada (+, -,+, -, +,.......) y tal que la sucesión de sus términos converge a 0.

Sin embargo esa serie no es numerable ("suma" +4).

Ocurre que la sucesión de valores absolutos de sus términos no converge monótona-mente a 0. Es decir, no verifica la condición suficiente para la sumabilidad que vimos ayer.

Definición:

Se dice que la serie 4n=1xn es absolutamente sumable cuando es sumable la serie de términos positivos, 4n=1|xn|

Proposición:

Toda serie absolutamente sumable es sumable. (El recíproco no es cierto. Basta saber que 4n=1(-1)n/n es sumable, pero 4n=11/n no lo es)

Demostración:

Supongamos que 4n=1|xn| es sumable. Esto significa (condición de Cauchy) que ∀ ε>0, ∑ υ ∃ N / q > p > υ ⇒ qn=p|xn| < ε (la sucesión de sumas parciales de aquella serie es de Cauchy). Pues bien, basta tener en cuenta que:

|qn=p xn| ≤ qn=p|xn| para obtener que también la serie 4n=1xn verifica condición de Cauchy.

Teorema:

Si 4n=1xn es absolutamente sumable entonces es incondicionalmente sumable (Recordemos que 4n=1xn es incondicionalmente sumable (reordenable) cuando cualquiera que sea la biyección φ : N → N, 4n=1xn es sumable y con la misma suma que la dada).

[ES más, absolutamente sumable ⇔ incondicionalmente sumable]

Demostración:

Supongamos que 4n=1xn es absolutamente sumable y que σ : N → N es una biyección.

Veremos primero que también 4n=1x σ (n)es absolutamente sumable y segundo que tiene la misma suma que la dada.

1°.- Que 4n=1xn es absolutamente sumable significa que: ∀ ε> 0, ∑ υ ∃N / q > p > υ ⇒ qn=p|xn| < ε . Esto implica que 4n= υ |xn| ≤ ε(Recuérdese que la suma de la serie de términos positivos 4n=1|xn| es el límite de (|x υ |,|x υ | + |x υ +1|,|x υ | + |x υ +1| + |x υ +2|,.....) el cual es igual, la sucesión es creciente, al sup {|x υ |,|x υ | + |x υ +1|,......}).

Por otra parte, como σ es una biyección, existe υ ´ ∈ N tal que {1, 2, ......, υ} ⊂∪ { σ (1), σ (2),............, σ (υ)}, por tanto q > p > υ ´⇒ qn=p|x σ (n)| ≤ 4n= υ |xn| ≤ ε ⇒ 4n=1|x σ (n)| verifica la condición de Cauchy.

2°.- Sea s la suma de 4n=1xn y t la suma de 4n=1x σ (n).

Queremos ver que s = t, o lo que es lo mismo, que ∀ ε> 0 |s - t| < ε

La clave de la demostración s = t está en la siguiente desigualdad:

|s - t| ≤|s - nk=1 xk| + |nk=1 xk - mk=1 x σ (n)| + |mk=1 x σ (n)- t|

Dado ε > 0,

Por la definición de s, ∃ υ1 ∈ N / n > υ 1 ⇒|s - nk=1 xk| < ε /3

Por la definición de t, ∃ υ2 ∈ N / n ≤ υ2 ⇒ ||mk=1x σ (n)- t| < ε /3

Sabemos,además, que ∃ υ3 ∈ N 4n= υ 3|xn| < ε /3 (esto estaba en la primera parte)

Por tanto, si tomamos υ ∈ N tal que υ = máx. { υ 1, υ 2, υ 3}y {1, 2,......, υ 3} ⊂

⊂ {σ(1), σ (2),........, σ(υ)}entonces |nk=1 xk - mk=1 x σ (n)|≤ 4n= υ 3|xn| < ε /3 ⇒|s - t| < ε (∀ ε > 0)

Hemos probado que:

Absolutamente sumable ⇔ incondicionalmente sumable (reordenable)

También es cierto:

Sumable,no absolutamente sumable⇒no incondicionalmente sumable (no reordenable)

(condicionalmente sumable)

Para ver esto último se procede de la siguiente manera:

1°.- Se ve que si una serie es sumable, pero no absolutamente sumable, entonces tiene infinitos términos positivos e infinitos negativos.

2°.- la serie formada por los infinitos términos positivos (negativos) no es sumable ("suma" +4 y -4,respectivamente, como ocurre por ejemplo en4n=1(-1)n/n)

3°.- la serie en cuestión, puede reordenarse de forma que la sucesión de sumas parciales tenga a cualquier intervalo cerrado como conjunto de valores de adherencia.

Criterios de sumabilidad o de convergencia para series de términos positivos:

Dada la serie 4n=1xn, tal que xn > 0, (n ∈ N), se trata de saber si esa serie es sumable o no (no de calcular su "suma").

Una cuestión esencial en este asunto, es el hacho de que la sucesión de sumas parciales de una serie de términos positivos es monótona creciente.

Por tanto, es convergente si sólo si es acotada, si sólo si lo es alguna de sus subsucesiones.

Criterio de comparación

Sean 4n=1xn, 4n=1yn series de términos positivos.

Si se verifica que xn ≤yn, para todo n (o todo n salvo finitos) y si 4n=1yn es sumable, entonces 4n=1xn también lo es.

Por lo mismo, si 4n=1xn no es sumable, 4n=1yn tampoco lo es.

Demostración:

Basta tener en cuenta que x1 + ..... + xn ≤ y1 + ..... + yn, y por tanto, (y1 + ..... + yn) creciente acotada ⇒(x1 + .... + xn) creciente.

En otras palabras, una serie de términos positivos que tiene mayorante sumable, es sumable, y una serie de términos positivos que tiene minorante no sumable, no es sumable.

Este criterio está en la base de todos los criterios de sumabilidad para series de términos positivos.

Criterio de comparación por paso al cociente:

Sean 4n=1xn, 4n=1yn series de términos positivos.

Supongamos que se verifica que lim. n → 4 xn/yn = a (0 ≤ a ≤+4)

Entonces:

1°.- Si 0 < a < +4,ambas series son sumables, o ambas son no sumables.

2°.- Si a = 0, 4n=1yn sumable ⇒ 4n=1xn sumable, y si 4n=1xn no sumable ⇒ 4n=1yn no sumable.

3°.- Si a = +4,al revés que la anterior.

Ejercicio: En el "criterio de comparación", ver que: basta con que xn ≤yn se verifique para todos los n ∈ N, salvo finitos.

Indicación: hacer uso del hecho de que si cambiamos finitos términos de una serie, la serie resultante tiene el mismo carácter (sumable o no sumable) que la dada.

Demostración:

1° De la definición de límite se sigue que ∑ υ ∃N a/2 < xn/yn < 3a/2 (n > υ) (nota: dado ε = a/2, ∑ υ ∃N / n > υ ⇒|xn/yn - a| < a/2)

Por tanto, cuando n > υ ⇒ yn < 2/a xn

xn < 3a/2 yn

Es decir, la serie 4n=12/a xn es mayorante (salvo finitos) de la 4n=1yn y la serie 4n=13a/2 yn es mayorante (salvo finitos) de la 4n=1xn

Nótese que cualquiera que sea λ ≠ 0, 4n=1xn es sumable si sólo si lo es 4n=1 λ xn

2° De la definición de límite se sigue que ∑ υ ∃N / n > υ ⇒xn/yn < 1 basta tomar cualquier n° positivo ⇒ xn < yn (n > υ)

3° De la definición de límite se sigue que, ∑ υ ∃N / n > υ ⇒ xn/yn > 1 ⇒ yn < xn (n > υ)

Ejemplos:

La serie 4n=11/(3n+5) no es sumable porque:

Lim n → 4 [1/(3n+5)]/(1/n) = lim n → 4 n/(3n+5) = lim n → 4 1/(3+5/n) = 1/3

4n=11/n no es sumable, esa tampoco.

La serie 4n=11/(3n² + 2n + 1) si es sumable porque, lim n → 4 [1/(3n²+2n + 1)]/(1/n²) = 1/3 y la serie 4n=11/n² también es sumable.

A la vista está que para aplicar estos criterios es necesario contar con una "bateria" de series cuyo comportamiento (sumabilidad o no) es conocido.

Cuando no existe lim n → 4 xn/yn

Proposición:

Si 0 < lim n → 4 inf xn/yn ≤lim n → 4 sup xn/yn < +4 entonces 4n=1xn es sumable si solo si lo es 4n=1yn

Demostración:

Supongamos que 0 < a = lim n → 4 inf xn/yn ≤lim n → 4 sup xn/yn = b < +4

→ todos salvo finitos los xn/yn __________________ →

Sucesiones y series de números reales

←____________________todos salvo finitos los xn/yn

De la definición de límite inferior (superior) se sigue que:∑ υ ∃N / n > υ ⇒xn/yn > a/2

es decir, yn < 2/a xn, (n > υ)

∃ υ´ ∈ N / n > υ ´ ⇒xn/yn < 2b, es decir, xn < 2b yn, (n > υ ´)⇒

-la serie 4n=1xn es salvo finitos términos y un factor multiplicativo > 0, mayorante de la 4n=1yn

-La serie 4n=1yn es salvo finitos mayorante de 4n=1xn

¿Qué ocurre si a=0 ó b=+4? (el caso a=b es el de existencia de lim n → 4 xn/yn, ya tratada anteriormente).

- Caso: 0 = a < b < +4 solo tenemos que, ∃ υ´ ∈ N / n > υ ´ ⇒xn/yn < 2b, xn < 2b yn

Es decir, 4n=1yn sumable ⇒ 4n=1xn sumable

- Caso: 0 < a < b = +4, sólo tenemos que, ∑ υ ∃N / n > υ ⇒xn/yn > a/2, yn < 2/a xn

Es decir, 4n=1xn sumable ⇒ 4n=1yn sumable

- Caso extremo: 0 = a < b = +4 (no tenemos nada)

Ejemplo:

La serie 1 + 1/2² + 1/√3 + 1/4² + 1/√5 + 1/6² + 1/√7 + ........... comparada con la armónica 1 + ½ + 1/3 + ¼ + ............. de a = 0, b = +4 (lo anterior no dice nada)

Ejercicio:

Compárese con la 4n=11/n² o con la 4n=11/√n

Hemos visto "criterios de comparación" (de una serie de términos positivos con otra). Veamos ahora criterios intrínsecos (no aparece en ellos más que la serie, de términos positivos, cuya sumabilidad, o no sumabilidad, queremos conocer. Sin embargo, está "escondido" en ellos un criterio de comparación con series geométricas,que aparecerá en la demostración de las proposiciones).

Proposición: (criterio de cociente o de D´Alembert)

Sea 4n=1xn una serie de términos positivos, se verifica:

1.- Si lim n → 4 sup xn+1/xn < 1, la serie es sumable

2.- Si lim n → 4 inf xn+1/xn > 1, la serie no es sumable

3.- Si lim n → 4 inf xn+1/xn ≤ 1 ≤ Si lim n → 4 sup xn+1/xn < 1, el criterio no dice nada (puede ocurrir cualquier cosa).

Demostración:

1.- Sea lim n → 4 sup xn+1/xn < 1 y sea a < b < 1

→ todos salvo finitos xn+1/xn están aquí ← → salvo finitos xn+1/xn

Sucesiones y series de números reales

∑ υ ∃N / n ≥ υ ⇒ xn+1/xn < b, es decir, x υ +1< x υ b

x υ +2 < x υ b < x υ

x υ +3 < ...... < x υ

............................

x υ +k < ...... < x υ bk

O sea la serie x1 + x2 + ......... + x υ -1 + x υ + x υ b + x υ b² + ....... que es sumable, salvo finitos términos, geométrica de razón b < 1 es mayorante de la dada ⇒ la dada es sumable.

2.- Supongamos que lim n → 4 inf xn+1/xn = a > 1 entonces a la izquierda de cualquier entorno de a sólo quedan finitos xn+1/xn.

Es decir, ∑ υ ∃N / n > υ ⇒xn+1/xn > 1 ⇒ (xn) no → 0

0 < x υ +1< x υ +2< x υ +3< ............... ⇒ 4n=1xn no es sumable

3.- Para esto basta poner ejemplos:

4n=11/n no es sumable y le ocurre que lim n → 4 xn+1/xn = 1

4n=11/n² si es sumable y le ocurre lo mismo

Este criterio no sirve para estudiar la sumabilidad de series tan importantes como la armónica. Da el caso 3 para toda 4n=11/np

Proposición: (criterio de la raíz o de Cauchy)

Sea 4n=1xn una serie de términos positivos y sea a = lim n → 4 sup n√ xn, se verifica:

1.- Si a < 1, la serie es sumable

2.- Si a > 1, la serie no es sumable

3.- Si a = 1, puede ocurrir cualquier cosa.

Demostración:

3.- Basta considerar que 4n=11/n no es sumable y se verifica que

lim n → 4 n√(1/n) = lim n → 4 1/n√n = 1

O que 4n=11/n² si es sumable y que se verifica que lim n → 4 n√(1/n²) = lim n → 4 1/n√ n² = 1

1.-

→ finitos n√ xn

Sucesiones y series de números reales

Sea a < b < 1. De la definición de límite superior se sigue que a la derecha de b sólo hay finitos n√ xn. ES decir, ∑ υ ∃N / n > υ ⇒n√ xn< b, xn < bn. Por tanto, la serie

x1 +......+ x υ -1 + b υ + b υ +1 + ........... + b υ +k + ....... es mayorante de la dada, x1 + x2 + x3....., y sumable (es sumable porque salvo finitos términos es geométrica de razón b y 0 < b < 1). Por tanto la dada es sumable.

2.-

→ infinitos n√ xn

Sucesiones y series de números reales

De la definición de lim sup. Se sigue que hay infinitos n√ xn que son mayores que 1. Es decir, infinitos xn > 1. Luego (xn) no → 0 ⇒la serie no es sumable.

Puede probarse que:

lim n → 4 inf xn+1/xn ≤ lim n → 4 inf n√ xn ≤lim n → 4 sup n√ xn ≤lim n → 4 sup xn+1/xn

Por consiguiente el criterio de la raíz es mejor que el del cociente.

Puede ocurrir que el del cociente de el caso 3 y el de la raíz el caso 1.

Cuando estudiamos la sumabilidad de series armónicas 4n=11/np (sumable si solo si p>1) utilizamos un "truco" que puede utilizarse en muchos más casos. (repasarlo)

De hecho puede anunciarse como proposición de la siguiente forma:

Proposición:

Sea 4n=1xn una serie de términos positivos tal que (xn) î 0. La serie es sumable ⇔ la es la 4n=12n x2

Demostración: es fácil ver por donde va, repasando aquello de las armónicas.

Ejercicio: Ver que la serie 4n=11/[n(log n)p] es sumable ⇔ p > 1

Aplicando dos veces la misma proposición que lo mismo ocurre con 4n=11/[n log n (log (log n))p]

Los criterios de sumabilidad que hemos visto para series de términos positivos sirven para estudiar la sumabilidad de series de términos cualesquiera.

Por definición la serie 4n=1xn, es absolutamente sumable cuando la serie de términos positivos 4n=1|xn| es sumable.

La sumabilidad absoluta es más importante que la ordinaria (las serie absolutamente sumables con las reordenables incondicionalmente sumables).

Los criterios del cociente y la raíz tienen esta forma:

Proposición:

Sea 4n=1xn una serie sin ceros, se verifica que:

1.- Si lim n → 4 inf |xn+1/xn| < 1, la serie es absolutamente sumable.

2.- Si lim n → 4 inf |xn+1/xn| > 1, la serie no es sumable, (no es sumables y menos absolutamente sumable)

3.- Si lim n → 4 inf |xn+1/xn| ≤ 1 ≤ lim n → 4 sup |xn+1/xn| puede ocurrir cualquier cosa, que sea absolutamente sumable, que sea sumable pero no absolutamente sumable o que no sea sumable

Demostración:

1.- Ya la hemos visto.

2.- Recuérdese la correspondiente proposición para serie de términos positivos, véase que, 2 ⇒(|xn|) no → 0 ⇒ (xn) no → 0

3.- Series que verifican:

lim n → 4 |xn+1/xn| = 1

4n=1(-1)n/n² absolutamente sumable

4n=1(-1)n/n sumable no absolutamente sumable

2 - 1 + 2/2 - ½ + 2/3 - 1/3 + 2/4 - ¼ + 2/5 - 1/5 .................|xn+1/xn| = (½, 1, ½, 4/3, ½, 3/2, ½, 8/5, ½,..........)

lim n → 4 inf |xn+1/xn| = ½; lim n → 4 sup |xn+1/xn| = 2

Proposición:

Sea 4n=1xn una serie y sea a = lim n → 4 sup n√|xn| (nótese que xn+1/xn tiene sentido para todo n, pero n√xn no tiene sentido cuando.......

Se verifica que:

1.- Si a < 1 la serie es absolutamente sumable (ya lo sabemos)

2.- Si a > 1 la serie no es sumable (ya lo sabemos porque 2⇒ (|xn|)no → 0 ⇒(xn)no → 0)

3.- Si a = 1 puede ocurrir cualquier cosa (lo mismos ejemplos de antes).

Estos criterios no sirven para averiguar la "sumabilidad", sirven para averiguar la "absolutamente sumabilidad".

Existen también criterios de sumabilidad de serie de términos cualesquiera.

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Editor: Fisicanet ®

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