Análisis Matemático

Límites: Series numéricas. Geométricas. Criterio de la integral. Series alternas. Convergencia absoluta. Series de potencia. Serie de Taylor.

SUCESIONES

Diremos que {an} es convergente si:

Límite tendiendo a infinito an = L (infinito)

Si {an} y {bn} son convergentes tales que:

Límite tendiendo a infinito an = L

Límite tendiendo a infinito b n = M

Entonces

{an} (±,*,/){bn} = L(±,*,/) M

Si:

Límite tendiendo a infinito |an| = 0 ⇒ Límite tendiendo a infinito an = 0

Dada {an} diremos que C ∈ R es una cota superior de {an} si C ≥ an; B ∈ R es una cota inferior si B ≤ an. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.

SERIES NUMERICAS

Diremos que una serie ∑ an es convergente si:

Límite tendiendo a infinito Σ an = L (finito)

Series Geométricas:

SUCESIONES

La serie geométrica converge si |r| < 1 y converge a Sn = k/(1 - r)

Si ∑an y ∑ bn son convergentes a A y B respectivamente entonces:

∑ an ±∑ bn = A ± B

Si:

∑ C.an; C = constante ⇒ C.∑ an = C.A

El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.

Si dos series coinciden a partir de un término "n", las dos tienen el mismo carácter.

Dada ∑ an convergente ⇒ Límite tendiendo a infinito an = 0

Es convergente para p > 1.

CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea y = f(x) una función continua, positiva y decreciente en [1, +∞) y tal que f (n) = an entonces:

SUCESIONES y SUCESIONES

tienen el mismo carácter.

CRITERIO DE COMPARACION

∑ an y ∑ bn de términos positivos.

Si ∑ an ≤∑ bn ⇒ si ∑ bn converge se tendrá que ∑ an converge. Y si ∑ an diverge entonces ∑ bn diverge.

COMPARACION AL LIMITE (para series de términos positivos)

Si ⇒ Límite tendiendo a infinito an/ bn = L (finito, positivo) an ≈L.bn

Entonces si an converge bn converge y viceversa.

Si:

Límite tendiendo a infinito an/ bn = 0

si bn converge an converge.

Si:

Límite tendiendo a infinito an/ bn = + ∞

si bn diverge an diverge.

SERIES ALTERNAS

Criterio Para Series Alternas.

Si:

Límite tendiendo a infinito an = 0

y { an } es decreciente, entonces la serie es convergente.

CONVERGENCIA ABSOLUTA

Dada ∑ an de términos de cualquier signo.

∑ |an| converge ⇒ ∑ an es convergente y diremos que ∑ an converge absolutamente.

Si ∑ |an| diverge y ∑ an converge, diremos que an converge condicionalmente.

CRITERIO DE LA RAZON

Si:

Límite tendiendo a infinito |an + 1|/|an| = L; L < 1

la serie converge absolutamente.

Si L = 1 no se puede concluir. Si L>1 la serie diverge.

CRITERIO DE LA RAIZ

Si:

Límite tendiendo a infinito |an|1/n = L; L < 1

la serie converge absolutamente.

Si L = 1 no se puede concluir; si L>1 la serie diverge.

ESTIMACION DEL RESTO

Criterio de la Integral.

Resto (Rn) = S-Sn = an+1 + an + 2 + an+3 +...

SUCESIONES

Para Series Alternas

|Rn| ≤ |an + 1| < error

SERIES DE POTENCIA SUCESIONES; serie de potencia centrada en a

SUCESIONES

Si una serie de potencia es convergente para x =x1 ⇒ converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x|<|x1|.

Si una serie de potencia es divergente para x =x2 ⇒ también es divergente para cualquier valor de x tal que |x|>|x2|.

SERIE DE TAYLOR

Cn = fn(a)/n!

De lo que se obtiene:

SUCESIONES

Si a = 0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

Artículo: Sucesiones. AP-11

Revisado por:

Modificado:

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet".

Por favor, “copia y pega” bien el siguiente enlace:

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/limites/ap11_limites.php

¡Gracias!