Matemática

Polinomios: Valor numérico. Reducción de fracción algebraica. Trinomio cuadrado perfecto. Diferencia de cuadrados. Grado. Expresiones algebraicas

Polinomios

Valor numérico de una fracción algebraica

Valor numérico de una fracción algebraica, para determinados valores de sus indeterminadas, es el número que resulta al sustituir estas por sus valores respectivos y realizar las operaciones indicadas. Cuando los dos términos de una fracción son polinomios en "X", el hecho de que se anulen para un valor determinado "A", significa que son divisibles por (X - A) y se puede simplificar la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción equivalente obtenida se llama verdadero valor de la fracción dada.

Ejemplo:

2.x².y - 3.z³

Armamos una tabla de valores, asignamos números y resolvemos:

Valores asignados a las variables

Valor numérico

x

y

z

2.x².y - 3.z³

1

1

1

-1

0

0

0

0

1

3

2

-18

 

Reducción de fracción algebraica a mínimo común denominador:

Reducir a mínimo común denominador dos o más fracciones algebraicas, es hallar otras fracciones equivalentes a las primeras que tengan como denominador común. Se aplica factoreo o división.

- Se reducen las fracciones lo más posible.

- Se halla el m.c.m de los denominadores, obteniendo así el denominador común.

- Para hallar el numerador de cada fracción, se divide el m.c.m por el denominador y se multiplica el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

Trinomio cuadrado perfecto:

Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de aplicar la propiedad distributiva respecto a la suma a un binomio elevado al cuadrado.

(a ± b)² = (a ± b).(a ± b) = a² ± 2.a.b + b²

Se caracteriza por:

- Se compone de 3 términos.

- Dos de sus términos son cuadrados perfectos.

- El otro término, con signo más o menos, es el doble del producto de las bases de los cuadrados anteriores.

a² ± 2.a.b + b² = (a ± b)²

El signo es como sigue:

a² + 2.a.b + b² = (a + b)²

a² - 2.a.b + b² = (a - b)²

 

Cuatrinomio cubo perfecto

Un cuatrinomio cubo perfecto es el resultado de aplicar la propiedad distributiva respecto a la suma a un binomio elevado al cubo.

(a ± b)³ = (a ± b).(a ± b).(a ± b) = a³ ± 3.a².b + 3.a.b² ± b³

Se caracteriza por:

- Se compone de 4 términos.

- Dos de sus términos son cubos perfectos.

- Los otros dos términos, con el signo que corresponda, cada uno es el triple del producto de una de las bases elevada al cuadrado por la otra base elavada a la primera potencia.

 

a³ ± 3.a².b + 3.a.b² ± b³ = (a ± b)³

El signo es como sigue:

a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³ = (a + b)³

a³ - 3.a².b + 3.a.b² - b³ = (a - b)³

 

Binomio diferencia de cuadrados:

Un binomio formado por la sustracción de dos cuadrados perfectos, se puede expresar como una multiplicación de dos factores; uno de ellos es la suma de las bases de los cuadrados y el otro es su diferencia.

a² - b² = (a + b).(a - b)

 

POLINOMIOS

Los polinomios son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del polinomio.

P(x) = 4.x² - 3.x³ + 5.x + 2

 

Grado de un polinomio:

- Es el grado del término de mayor grado (donde se encuentre la variable con la mayor potencia).

- El término de primer grado se llama término lineal.

- El término de grado cero se denomina término independiente.

Por ejemplo, para el polinomio anterior:

- Grado: 3

- Término de primer grado: 5.x

- Término de grado cero: 2

 

Valor numérico de un polinomio:

Para hallar el valor numérico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus valores y se efectúan las operaciones indicadas.

Con el polinomio de ejemplo hallamos el valor numérico para x = 2:

P(x) = 4.x² - 3.x³ + 5.x + 2

Reemplazamos las "x" por el valor 2:

P(2) = 4.2² - 3.2³ + 5.2 + 2

P(2) = 4.4 - 3.8 + 5.2 + 2

P(2) = 16 - 24 + 10 + 2

P(2) = 4

Para x = 2, el valor numérico del polinomio es 4.

 

Adición de polinomios:

Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.

Ejemplo, sumar los siguientes polinomios:

P(x) = 4.x² - x + 2

Q(x) = x³ + x - 1

Primero completamos los términos que faltan ordenados por grado:

P(x) = 0.x³ + 4.x² - x + 2

Q(x) = x³ + 0.x² + x - 1

Luego se suman los términos de igual grado (en un polinomio se suman los coeficientes):

P(x) =

0.x³

+ 4.x²

- 1.x

+ 2

Q(x) =

+ 0.x²

+ 1.x

- 1

P(x) + Q(x) =

+ 4.x²

+ 0.x

+ 1

 

P(x) + Q(x) = x³ + 4.x² + 1

 

Sustracción de polinomios:

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo, restar los polinomios del ejemplo anterior:

P(x) = 4.x² - x + 2

Q(x) = x³ + x - 1

Primero completamos los términos que faltan ordenados por grado:

P(x) = 0.x³ + 4.x² - x + 2

Q(x) = x³ + 0.x² + x - 1

Para restar hallamos el opuesto a Q(x) que es -Q(x):

-Q(x) = -1.(x³ + 0.x² + x - 1)

-Q(x) = - x³ - 0.x² - x + 1)

 

Luego se sumamos los términos de igual grado (en un polinomio se suman los coeficientes):

P(x) =

0.x³

+ 4.x²

- 1.x

+ 2

-Q(x) =

- x³

- 0.x²

- 1.x

+ 1

P(x) - Q(x) =

- x³

+ 4.x²

- 2.x

+ 3

 

P(x) - Q(x) = - x³ + 4.x² - 2.x + 3

 

Expresiones algebraicas:

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas.

- Monomio: es cualquier expresión algebraica cuyos elementos no están separados por los signos +, -.

- Monomios semejantes: Son expresiones monómicas que tienen las mismas letras y los mismos exponentes.

- Monomios iguales: Son monomios semejantes con coeficientes iguales.

- Monomios opuestos: Son monomios semejantes con coeficientes opuestos.

Operaciones con fracciones algebraicas:

- Adición y sustracción:

La suma y diferencia de dos fracciones que tengan el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la suma o la diferencia de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común.

- Multiplicación y división:

Se llama fracción producto a la fracción que tiene como numeradores y denominadores el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Antes de efectuar una multiplicación de fracciones algebraicas conviene simplificar los factores dividiendo los numeradores y los denominadores por factores comunes.

- Potenciación y radicación:.

La potencia de una fracción algebraica es igual a la potencia del numerador partida por la del denominador. La raíz de una fracción algebraica es igual a la raíz del numerador por la raíz del denominador.

 

Autor:   

Editor: Fisicanet ®

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet".

Por favor, “copia y pega” bien el siguiente enlace:

¡Gracias!

Fisicanet: Matemática, física, química, biología, historia, cultura y tecnología
TuGuitarra: Guitarras eléctricas. Guitarristas famosos. Video de la semana. Biografías y Tablaturas.
Recetas y Más: Sitio de gastronomía. Recetas de cocina. Comida saludable. Glosario. Calorías