Matriz
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.
Matrices
Una matriz es una tabla ordenada de escalares a× de la forma
a11 |
a12 |
... |
a1n |
||
a21 |
a22 |
... |
a2n |
||
... |
... |
... |
... |
||
am1 |
am2 |
... |
amn |
La matriz anterior se denota también por (a×), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (a×).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m × n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:
La siguiente matriz es una matriz de 2 x 3: |
1 |
-3 |
4 |
||
0 |
5 |
-2 |
donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus columnas |
1 |
, |
-3 |
y |
4 |
||||||
0 |
5 |
-2 |
Clases de matrices
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n × n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
A = |
1 |
2 |
-3 |
||
4 |
0 |
5 |
|||
3 |
-1 |
2 |
B = |
2 |
-3 |
||
-1 |
5 |
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (a×) una matriz n-cuadrada. la diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I · A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d11, d22, ..., dnn). Por ejemplo,
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal(3,-1,7) diagonal(4,-3) y diagonal(2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de
A = |
3 |
-1 |
4 |
||
2 |
5 |
-7 |
|||
4 |
0 |
9 |
es
AT = |
3 |
2 |
4 |
||
-1 |
5 |
0 |
|||
4 |
-7 |
9 |
En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m x n, entonces AT = (aTij) es la matriz n x´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BT AT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = - A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
A = |
2 |
-3 |
5 |
||
-3 |
6 |
7 |
|||
5 |
7 |
-8 |
B = |
0 |
3 |
-4 |
||
-3 |
0 |
5 |
|||
4 |
-5 |
0 |
C = |
1 |
0 |
0 |
||
0 |
1 |
0 |
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA T = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT. Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:
A = |
a1 |
a2 |
a3 |
||
b1 |
b2 |
b3 |
|||
c1 |
c2 |
c3 |
Si A es ortogonal, entonces:
A.AT = |
a1 |
a2 |
a3 |
. |
a1 |
b1 |
c1 |
= |
1 |
0 |
0 |
= I |
||||||
b1 |
b2 |
b3 |
a2 |
b2 |
c2 |
0 |
1 |
0 |
||||||||||
c1 |
c2 |
c3 |
a3 |
b3 |
c3 |
0 |
0 |
1 |
Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA T = AT A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Ejemplo:
Sea |
6 |
-3 |
, entonces: |
||
3 |
6 |
A.AT = |
6 |
-3 |
. |
6 |
3 |
. |
= |
45 |
0 |
|||||
3 |
6 |
-3 |
6 |
0 |
45 |
AT.A = |
6 |
3 |
. |
6 |
-3 |
. |
= |
45 |
0 |
|||||
-3 |
6 |
3 |
6 |
0 |
45 |
Puesto que AA T = A T A, la matriz es normal.
Autor: Anónimo
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