Matriz

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

Matrices

Una matriz es una tabla ordenada de escalares a_× de la forma

La matriz anterior se denota también por (a_×), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (a_×).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m × n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

Clases de matrices

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n × n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A = (a_×) una matriz n-cuadrada. la diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a₁₁, a₂₂, ..., a_nn. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I · A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (a_{i j}) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d₁₁, d₂₂, ..., d_nn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal(3,-1,7) diagonal(4,-3) y diagonal(2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por A^T. Así, la traspuesta de

es

En otras palabras, si A = (a_{i j}) es una matriz m x n, entonces A^T = (a^T_ij) es la matriz n x´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)^T = A^T + B^T.

2. (A^T)^T = A.

3. (kA)^T = kA^T (si k es un escalar).

4. (AB)^T = B^T A^T.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si A^T = A; y que es antisimétrica, si A^T = - A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A^T = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA ^T = A^T A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A^-1 = A^T. Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA ^T = A^T A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Puesto que AA ^T = A ^T A, la matriz es normal.