Matemática

Sistemas de Ecuaciones: Determinantes de orden uno y dos. Propiedades de los determinantes. Determinante de orden arbitrario. Ejercicio: cálculo de determinantes.

Determinantes

A cada matriz n-cuadrada A = (aij) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2n

...

...

...

...

am1

am2

...

a mn

Una tabla ordenada n. n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

Determinantes de orden uno y dos

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

| a11| = a11

a11

a12

= a11.a22 - a12.a21

a21

a22

Así, el determinante de una matriz 1 . 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = | a11| = a11.

Ejemplos:

a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3 x+5) = 3 x+5.

b)

3

5

= (3).(1) - (5).(2) = 3 - 10 = -7

2

1

 

2

-3

= (2).(-4) - (-3).(1) = -8 - (-3) = -8 + 3 = -5

1

-4

Determinantes de orden tres

Consideremos una matriz 3 . 3 arbitraria A = (a ij). El determinante de A se define como sigue:

det(A) =

a11

a12

a13

=

a21

a22

a23

a31

a32

a33

= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a32.a23.a11

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

MATRICES Y DETERMINANTES (Para los tres productos positivos)

DETERMINANTES (Para los tres productos negativos)
Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

3

2

1

=

0

2

-5

-2

1

4

= (3).(2).(4) + (2).(-5).(-2) + (0).(1).(1) - (-2).(2).(1) - (0).(2).(4) - (1).(-5).(3) =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3 . 3 A = (a×) puede reescribirse como:

det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =

= a11.

a22

a23

- a12.

a21

a23

+ a13.

a21

a22

a32

a33

a31

a33

a31

a32

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:

a11.

a11

a12

a13

- a12.

a11

a12

a13

+ a13.

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

a33

Nótese que cada matriz 2 . 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con:

3

2

1

=

0

2

-5

-2

1

4

 

= 3.

3

2

1

- 2.

3

2

1

+ 1.

3

2

1

=

0

2

-5

0

2

-5

0

2

-5

-2

1

4

-2

1

4

-2

1

4

 

= 3.

2

-5

- 2.

0

-5

+ 1.

0

2

=

1

4

-2

4

-2

1

= 3.(8+5) - 2.(0-10) + 1.(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Propiedades de los determinantes

Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:

1- El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

| A | = | AT |

2- Sea A una matriz cuadrada,

- Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente |A| = 0.

- Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces |A| es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3- Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,

- Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|.

- Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|.

- Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k.|A|.

4- Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:

- A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1.

- AX = 0 tiene solamente la solución trivial.

- El determinante de A no es nulo: |A| ≠ 0.

5- El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |A.B| = |A|.|B|.

6- Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|.

Determinante de orden arbitrario

Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n . n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera:

a11

a12

...

a1n

=

a21

a22

...

a2n

...

...

...

...

an1

an2

...

ann


 

= a11.

a22

...

a2n

- a21.

a12

...

a1n

...

...

-an1.

a12

...

a1n

...

...

...

...

...

...

a22

...

a2n

an2

...

ann

an2

...

ann

...

...

...

Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir:

+

-

+

-

 

...

-

+

-

+

 

...

+

-

+

-

 

...

           

...

...

...

...

...

...

Ejemplo:

Calcular el determinante de A =

 

3

2

0

-1

 

1

5

1

0

4

-2

0

1

0

1

-3

2

Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

det(A) = -1.

3

2

-1

- (-3).

3

2

-1

=

4

-2

1

1

5

0

0

1

2

4

-2

1

= -1(-12 + 0 - 4 - 16 - 3) + 3.(15 + 0 + 2 + 20 - 2 - 0) =

= -1.(-35) + 3.(35) = 35 + 105 = 140

Ejercicio: cálculo de determinantes

Calcular los siguientes determinantes:

a)

1

-2

,

3

1

3

5

-2

-4

b)

1

-3

2

,

1

-3

2

,

3

1

0

5

2

-7

5

2

-7

2

-2

4

0

0

0

4

0

1

5

0

7

c)

2

1

0

4

,

0

-1

2

2

0

-1

2

-1

4

1

5

2

5

4

-3

2

3

-8

-2

0

1

0

6

-2

1

2

4

-2

a)

1

-2

= 5 - (-6) = 5 + 6 = 11

3

5

 

3

1

= -12 - (-2) = -12 + 2 = -10

-2

-4

b)

1

-3

2

= 0

5

2

-7

0

0

0

al haber toda una fila nula, el determinante da como resultado = 0.

1

-3

2

= 2 + 48 + 0 - 16 - (-15) - 0 = 86 - 16 + 15 = 85

5

2

-7

4

0

1

 

3

1

0

= -42 + 20 + 0 - 0 - 14 - 0 = -36

2

-2

4

5

0

7

 

2

1

0

4

= 2.

-1

2

-1

+ 5.

1

0

4

-1.

1

0

4

=

4

-3

2

-1

2

-1

-1

2

-1

0

6

-2

0

6

-2

4

-3

2

0

-1

2

-1

5

4

-3

2

1

0

6

-2

= 2.(-6 - 24 + 16 + 2) + 5.(-4 - 24 + 6) - 1.(4 + 12 - 16 - 3) = -24 - 110 + 3 = -131

 

0

-1

2

2

= -(-1).

4

5

2

- 2.

4

1

5

=

3

-2

0

3

-8

-2

1

4

-2

1

2

4

4

1

5

2

3

-8

-2

0

1

2

4

-2

= 1.(16 + 0 + 24 - (-4) - (-30) - 0) -2.(-128 - 2 + 30 - (-40) - 12 - (-16)) = 74 - 2.(-56) = 74 + 112 = 186

Editor: Fisicanet ®

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet".

Por favor, “copia y pega” bien el siguiente enlace:

¡Gracias!

Fisicanet: Matemática, física, química, biología, historia, cultura y tecnología