Matemática

Vectores: Cálculo del producto escalar de vectores. Cálculo del módulo de un vector. Cálculo del ángulo formado por dos vectores.

VECTORES

4° parte

Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a.

Cálculo del producto escalar

Puesto que a.b = | a| | b| cos α, parece sencillo calcular a . b, pero en la práctica puede resultar complicado conocer el módulo de los vectores y el ángulo que forman.

En general, resulta más sencillo calcular el producto escalar de dos vectores conociendo sus coordenadas respecto de una base y los productos escalares de los vectores que forman dicha base.

Supóngase que se tienen dos vectores x e y que respecto a una base {u1,u2} del plano tienen coordenadas (x1, x2) e (y1, y2), es decir:

x = x1.u1 + x2.u2

y = y1.u1 + y2.u2

Además,

u1.u1 = a

u1.u2 = u2.u1 = b

u2.u2 = c

El producto escalar de x e y será entonces (se aplican las propiedades distributivas respecto de la suma y de linealidad)

x.y = (x1.u1 + x2.u2).(y1.u1 + y2.u2)

x.y = (x1.u1).(y1.u1) + (x1.u1).(y2.u2) + (x2.u2).(y1.u1) + (x2.u2).(y2.u2)

x.y = x1.y1.(u1.u1) + x1.y2.(u1.u2) + x2.y1.(u2.u1) + x2.y2.(u2.u2)

x.y = x1.y1.a + x1.y2.b + x2.y1.b + x2.y2.c

x.y = x1.y1.a + (x1.y2 + x2.y1).b + x2.y2.c

Ejercicio: cálculo del producto escalar de dos vectores

Hallar el producto escalar de los vectores a = 2 u1 + 3 u2 y b = 4 u1 - u2, donde {u1,u2} es una base del plano en la que |u1| = 2, |u2| = 1 y ambos vectores, u1 y u2 ,forman un ángulo de 60°.

Resolución:

a.b = (2.u1 + 3.u2).(4.u1 - u2) = 8.(u1.u1) + 10.(u1.u2) - 3.(u2.u2)

u1.u1 = |u1|² = 4

u1.u2 = u2.u1 = |u1|.|u2|.cos 60° = 2.1.(1/2) = 1

u2.u2 = |u2|² = 1

a.b = 8.4 + 10.1 - 3.1 = 32 + 10 - 3 =39

Cálculo del módulo de un vector

Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista para el producto escalar.

Como a.a = |a|², el módulo de a es:

|a| = √a•a

Cálculo del ángulo formado por dos vectores

Como a.b = |a|.|b|.cos α, despejando se obtiene:

 

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Artículo: Propiedades y operaciones de los vectores. AP-04

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Editor: Fisicanet ®

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