Cinemática vectorial
Actividades iniciales
1) ¿Por qué la masa es una magnitud escalar y el peso es vectorial?
2) La aceleración de un móvil es un vector y como tal se puede descomponer en componentes. Si se elige un sistema de referencia con el origen centrado en el móvil, un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma, ¿qué significado físico tienen las componentes de la aceleración referidas a ese sistema de referencia?
3) Comenta la frase pronunciada por un automovilista imprudente después de estar a punto de salirse de la carretera: "¡la curva era tan cerrada que la fuerza centrífuga me ha sacado de la carretera!"
Cinemática
Vector de posición (ř)
Para describir el movimiento de una partícula, respecto de un sistema de referencia, tenemos que conocer, en cada instante, la posición del móvil, su velocidad y la aceleración con la que está animado.
Elegido un sistema de referencia, la posición del móvil queda determinada por el vector de posición:
Vector de posición
ř(t) = x(t)·ĭ + y(t)·ǰ + z(t)·ǩ(1)
El extremo del vector de posición describe, a lo largo del tiempo, una línea que recibe el nombre de trayectoria. Esta curva se puede obtener eliminando el tiempo en las ecuaciones paramétricas.
Se denomina vector desplazamiento Δř entre los instantes t₀ y t₁ a:
Vector desplazamiento
Δř = Δx·ĭ + Δy·ǰ + Δz·ǩ(2)
Velocidad (v)
Se denomina vector velocidad media (vₘ) al desplazamiento que experimenta un móvil en la unidad de tiempo:
Vector velocidad media
| vₘ = | Δr |
| Δt |
| vₘ = | Δx | ·ĭ + | Δy | ·ǰ + | Δz | ·ǩ |
| Δt | Δt | Δt |
vₘ = vₘₓ·ĭ + vmy·ǰ + vmz·ǩ (3)
Y se llama celeridad o velocidad o rapidez media a la longitud de trayectoria recorrida en la unidad de tiempo.
| v = | Δs | = | Distancia recorrida |
| Δt | Tiempo empleado |
Si la trayectoria es una línea recta y no hay cambios de sentido, el módulo del vector velocidad media coincide con la rapidez.
Velocidad instantánea (v) es la velocidad que posee una partícula en un instante determinado. Es un vector tangente a la trayectoria y de sentido el del movimiento.
Vector velocidad instantánea
| v = | lim | Δr | = | dr |
| Δt ⟶ 0 | Δt | dt |
| v = | d | ·(x·ĭ + y·ǰ + z·ǩ) |
| dt |
| v = | dx | ·ĭ + | dy | ·ǰ + | dz | ·ǩ |
| dt | dt | dt |
v = vₓ·ĭ + vy·ǰ + vz·ǩ (4)
El valor numérico de la velocidad instantánea es el módulo de la velocidad y se denomina rapidez o celeridad:
v = |v| = √vₓ² + vy² + vz²
Aceleración (ā)
Se denomina vector aceleración media, āₘ, a la variación que experimenta la velocidad instantánea en la unidad de tiempo.
Vector aceleración media
| āₘ = | Δv |
| Δt |
| āₘ = | Δvₓ | ·ĭ + | Δvy | ·ǰ + | Δvz | ·ǩ |
| Δt | Δt | Δt |
āₘ = aₘₓ·ĭ + amy·ǰ + amz·ǩ (5)
Aceleración instantánea ā es la aceleración que posee la partícula en un instante determinado (en cualquier punto de su trayectoria). Su dirección y sentido coincide con el del cambio de la velocidad.
Vector aceleración instantánea
| ā = | lim | Δv | = | dv |
| Δt ⟶ 0 | Δt | dt |
| ā = | d | ·(vₓ·ĭ + vy·ǰ + vz·ǩ) |
| dt |
| ā = | dvₓ | ·ĭ + | dvy | ·ǰ + | dvz | ·ǩ |
| dt | dt | dt |
ā = aₓ·ĭ + ay·ǰ + az·ǩ (6)
El valor numérico de la aceleración instantánea es el módulo del vector aceleración:
a = |ā| = √aₓ² + ay² + az²
Componentes intrínsecas de la aceleración
Si elegimos como sistema de referencia uno con origen la posición de la partícula, en cada instante, con un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma, la aceleración tiene dos componentes:
ā = āₜ + āₙ
Aceleración tangencial: es un vector tangente a la trayectoria y su módulo representa la variación del módulo de la velocidad en un instante.
āₜ = |āₜ| = dv/dt
Aceleración normal: es un vector perpendicular a la trayectoria y sentido hacia el centro de curvatura. Su módulo representa la variación de la dirección del vector velocidad en un instante.
āₙ = |āₙ| = v²/R
Donde R es el radio de curvatura de la trayectoria.
Por tanto, podemos escribir:
| ā = | dv | ·ūₜ + | v² | ·ūₙ |
| dt | R |
Donde ūₜ y ūₙ son dos vectores unitarios en la dirección tangente y normal a la trayectoria.
• Realizar cuestionario de aplicación
Cinemática: movimientos sencillos (tratamiento escalar)
Semejanza entre ecuaciones movimiento rectilíneo y circular
| MRUA (1) s = s₀ + v₀·t + ½·a·t² (2) v = v₀ + a·t (3) v² - v₀² = 2·a·(s - s₀) | MCUA (1) φ = φ₀ + v₀·t + α·t²/2 (2) ω = ω₀ + α·t (3) ω² - ω₀² = 2·α·(φ - φ₀) |
Relación entre magnitudes angulares y lineales:
| s = φ·R | v = ω·R |
| aₜ = α·R | aₙ = v²/R = ω²·R |
Caso particular: cuando el movimiento es uniforme
| s = s₀ + v·t | φ = φ₀ + (ω·t) Consideraciones: ω = 2·π·f T = 1/f |
Lanzamiento horizontal (g = -9,8 m/s²)
| Eje X: x = v₀·t Eje Y: y = y₀ + ½·g·t² | Vector de posición: ř = (v₀·t)·ĭ + (y₀ + ½·g·t²)·ǰ |
| Ecuación de la trayectoria: y = y₀ + g·x²/(2·v₀²) | |
| Componentes de la velocidad: vₓ = v₀ vy = g·t v = √vₓ² + vy² | Ángulo formado con el eje horizontal: α = arctg (g·t/v₀) |
| Alcance: x = √-2·y₀·v₀²/g | |
Tiro parabólico (g = -9,8 m/s²)
| Eje X: x = v₀·(cos α)·t Eje Y: y = v₀·(sen α)·t + ½·g·t² |
Vector de posición: ř = (v₀·(cos α)·t)·ĭ + (v₀·(sen α)·t + ½·g·t²)·ǰ | |
| Ecuación de la trayectoria: y = x·tg α + g·x²/(2·v₀²·cos² α) | ||
| Componentes de la velocidad: vₓ = v₀·cos α vy = v₀·(sen α) + g·t v = √vₓ² + vy² | Ángulo formado con el eje horizontal: α = arctg (vy/vₓ) | |
| Altura máxima alcanzada: yₘₐₓ = -v₀²·(sen² α)/2·g | Alcance: x = -v₀²·(sen 2·α)/g | |
• Realizar ejercicios de movimiento uniforme en el plano
• Realizar ejercicios de movimiento en dos dimensiones
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
¿Qué es la distancia y el desplazamiento?