Problema nº 8 de tiro o lanzamiento vertical, tiempo - TP17

Enunciado del ejercicio nº 8

Se lanza un balón verticalmente hacia arriba con una velocidad v₀, t segundos después, y desde la misma altura se lanza un segundo balón también verticalmente hacia arriba a igual velocidad v₀.

Calcular cuánto tiempo medido a partir del lanzamiento del segundo balón, se demora la colisión entre ellos.

Desarrollo

Fórmulas:

y = v₀·t + ½·g·t²

Solución

Ambos balones partieron con la misma velocidad inicial, por lo tanto, lo balones colisionaran luego de que el primero alcance su altura máxima y se encuentre de regreso, asumiendo que ambos balones sigan la misma trayectoria.

Para el primer balón:

y₁ = v₁₀·t₁ + ½·g·t₁² [1]

Para el segundo balón:

y₂ = v₂₀·t₂ + ½·g·t₂² [2]

Pero:

v₁₀ = v₂₀

Entonces:

y₁ = v₀·t₁ + ½·g·t₁² [1]

y₂ = v₀·t₂ + ½·g·t₂² [2]

Debemos tener en cuenta que:

t = t₁ - t₂ (t es el tiempo buscado)

Despejamos t₁ y la reemplazamos en la ecuación [1]:

t₁ = t + t₂

y₁ = v₀·(t + t₂) + ½·g·(t + t₂)² [1]

y₂ = v₀·t₂ + ½·g·t₂² [2]

Cuando la posición y₂ = y₁ (pero en sentido contrario), ocurrirá el encuentro:

v₀·t₂ + ½·g·t₂² = v₀·(t + t₂) + ½·g·(t + t₂)²

Trabajamos algebraicamente:

v₀·t₂ + ½·g·t₂² = v₀·(t + t₂) + ½·g·(t² + 2·t·t₂ + t₂²)

v₀·t₂ + ½·g·t₂² = v₀·t + v₀·t₂ + ½·g·t² + ½·g·2·t·t₂ + ½·g·t₂²

0 = v₀·t + ½·g·t² + g·t·t₂

0 = v₀·t + g·t·t₂ + ½·g·t²

Y obtenemos una ecuación de segundo grado:

0 = (v₀ + g·t₂)·t + ½·g·t²

Aplicamos la ecuación cuadrática (Báscara o Bhaskara) que dará dos resultados:

Separamos las ecuaciones una por cada signo y resolvemos:

tₐ = 0

Por lo tanto tₐ se descarta porque sería el mismo instante.

t_b es el valor buscado, lo expresamos:

Enviado por: @sebastiayala.

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo calcular el tiempo en el movimiento uniforme variado. Nivel medio, secundaria, bachillerato, ESO.