Problema n° 5 de dinámica, fuerza de rozamiento, ángulo y tiempo en un plano inclinado - TP08
Enunciado del ejercicio n° 5
Un bloque descansa sobre un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético es de 0,5 y el estático de 0,75. Calcular:
a) El valor de α para que el bloque comience a deslizarse.
b) La aceleración cuando el bloque comenzó a deslizarse.
c) El tiempo necesario para que el bloque se deslice 6,096 m por el plano inclinado.
Desarrollo
Datos:
μₑ = 0,75
μc = 0,5
Δx = 6,096 m
v₁ = 0
g = 9,80665 m/s²
Fórmulas:
Fᵣ = μ·N (1)
x₂ = x₁ + v₁·t + ½·a·t²
Condición de equilibrio (Primera ley de Newton):
∑Fₓ = 0
∑Fy = 0
∑MF = 0
Esquema:
Solución
La fuerza de rozamiento siempre es contraria al movimiento y, por lo tanto, actúa como freno.
Diagrama de fuerzas
En el eje X:
Fᵣ - Pₓ = 0 (2)
En el eje Y:
N - Py = 0 (3)
Sabemos que:
| sen α = | Pₓ | ⇒ Pₓ = P·sen α |
| P |
| cos α = | Py | ⇒ Py = P·cos α |
| P |
En las ecuaciones (2) y (3) reemplazamos las componentes así como Fᵣ:
μ·N - P·sen α = 0 (4)
N - P·cos α = 0 (5)
De la ecuación (5) despejamos N:
N = P·cos α
Reemplazamos N en la (4):
μₑ·P·cos α - P·sen α = 0
Despejamos α:
μₑ·P·cos α = P·sen α
μₑ·cos α = sen α
| μₑ = | sen α |
| cos α |
μₑ = tg α
α = arctg μₑ
Reemplazamos por los valores y calculamos:
α = arctg 0,75
α = 36,86989765°
Resultado a), el ángulo a partir del cual el bloque comienza a deslizarse es:
α = 36,9°
b)
El bloque comenzó a moverse, por lo tanto, le condición de equilibro es:
En el eje X:
Fᵣ - Pₓ = m·a (6)
En el eje Y:
N - Py = 0 (3)
Con el bloque en movimiento se emplea el coeficiente de rozamiento cinético.
En las ecuaciones (2) y (3) reemplazamos las componentes así como Fᵣ:
μc·N - P·sen α = m·a (7)
N - P·cos α = 0 (8)
De la ecuación (8) despejamos N:
N = P·cos α
Reemplazamos N en la (7):
μc·P·cos α - P·sen α = m·a
Despejamos P:
(μc·cos α - sen α)·P = m·a
(μc·cos α - sen α)·m·g = m·a
Cancelamos la masa:
(μc·cos α - sen α)·g = a
a = (μc·cos α - sen α)·g
Reemplazamos por los valores y calculamos:
a = (0,5·cos 36,86989765° - sen 36,86989765°)·9,80665 m/s²
a = (0,5·0,8 - 0,6)·9,80665 m/s²
a = (0,4 - 0,6)·9,80665 m/s²
a = -0,2·9,80665 m/s²
a = -1,96133 m/s²
Resultado b), la aceleración del bloque en movimiento es:
a = -1,96 m/s²
En sentido contrario de x > 0.
c)
Aplicamos la ecuación horaria de posición de cinemática:
x₂ = x₁ + v₁·t + ½·a·t²
La velocidad inicial es nula:
x₂ = x₁ + ½·a·t²
Tomamos x₁ = 0.
x₂ = ½·a·t²
x₂ < 0, el bloque retrocede con respecto al sentido del eje X.
Despejamos t:
| t² = | -x₂ |
| ½·a |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| t² = | -6,096 m |
| ½·(-1,96 m/s²) |
| t² = | -6,096 m |
| -0,980665 m/s² |
| t² = | 6,096 s² |
| 0,980665 |
t² = 6,216190034 s²
t = √6,216190034 s²
t = 2,493228837 s
Resultado c), el tiempo necesario para que el bloque se deslice 6,096 m es:
t = 2,5 s
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular el tiempo y la distancia