Problema nº 10 de dinámica, masa y tensión en un plano inclinado - TP08
Enunciado del ejercicio nº 10
Se aplica una fuerza horizontal de 200 N sobre la masa m₁ = 4 kg de la figura (β = 60°).
Calcular el valor de m₂ y la tensión de la cuerda, si el sistema asciende con una aceleración de 0,1 m/s².
Desarrollo
Datos:
F = 200 N
m₁ = 4 kg
β = 60°
a = 0,1 m/s²
g = 9,80665 m/s²
Fórmulas:
Condición de equilibrio (Primera ley de Newton):
∑Fₓ = 0
∑Fy = 0
Esquema:
Solución
Primero realizamos el diagrama de las fuerzas. Para esto elegimos la dirección y el sentido de los ejes convenientemente.
Diagrama del cuerpo 1:
Diagrama del cuerpo 2:
Planteamos las ecuaciones para que el sistema cumpla las condiciones de equilibrio.
En el eje X hay movimiento, las fuerzas son:
Fₓ - P₁ₓ - T₂₁ = m₁·a (1)
T₁₂ - P₂ₓ = m₂·a (2)
Dado que:
T₁₂ = T₂₁ = T
Queda:
Fₓ - P₁ₓ - T = m₁·a (1)
T - P₂ₓ = m₂·a (2)
Por trigonometría sabemos que:
| cos β = | P₁ₓ |
| P₁ |
P₁ₓ = P₁·cos β
| cos β = | P₂ₓ |
| P₂ |
P₂ₓ = P₂·cos β
| sen β = | Fₓ |
| F |
Fₓ = F·sen β
Reemplazamos en las ecuaciones (1) y (2):
F·sen β - P₁·cos β - T = m₁·a (3)
T - P₂·cos β = m₂·a (4)
Sumamos ambas ecuaciones miembro a miembro, obtenemos la ecuación del sistema:
F·sen β - P₁·cos β - P₂·cos β = m₁·a + m₂·a
Reemplazamos la fuerza peso por su expresión:
P = m·g
F·sen β - m₁·g·cos β - m₂·g·cos β = m₁·a + m₂·a
Despejamos m₂:
F·sen β - m₁·g·cos β - m₂·g·cos β = m₁·a + m₂·a
m₂·a + m₂·g·cos β = F·sen β - m₁·g·cos β - m₁·a
m₂·(a + g·cos β) = F·sen β - m₁·(g·cos β + a)
| m₂ = | F·sen β - m₁·(g·cos β + a) |
| a + g·cos β |
Reemplazamos con los valores y calculamos:
| m₂ = | 200 N·sen 60° - 4 kg·(9,80665 m/s²·cos 60° + 0,1 m/s²) |
| 0,1 m/s² + 9,80665 m/s²·cos 60° |
| m₂ = | 200 N·0,866025404 - 4 kg·(9,80665 m/s²·0,5 + 0,1 m/s²) |
| 0,1 m/s² + 9,80665 m/s²·0,5 |
| m₂ = | 173,2050808 N - 4 kg·(4,903325 m/s² + 0,1 m/s²) |
| 0,1 m/s² + 4,903325 m/s² |
| m₂ = | 173,2050808 N - 4 kg·5,003325 m/s² |
| 5,003325 m/s² |
| m₂ = | 173,2050808 kg·m/s² - 20,0133 kg·m/s² |
| 5,003325 m/s² |
| m₂ = | 153,1917808 kg·m/s² |
| 5,003325 m/s² |
m₂ = 31,24242851 kg
Resultado, la masa del cuerpo 2 es:
m₂ = 31,24 kg
De la ecuación (4) despejamos T:
T - P₂·cos β = m₂·a
T = m₂·g·cos β + m₂·a
Reemplazamos con los valores y calculamos:
T = 31,24242851 kg·9,80665 m/s²·cos 60° + 31,24242851 kg·0,1 m/s²
T = 306,3835615 kg·m/s²·0,5 + 3,124242851 kg·m/s²
T = 153,1917808 kg·m/s² + 3,124242851 kg·m/s²
T = 156,3160236 N
Resultado, la tensión de la cuerda es:
T = 156,32 N
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo de cuerpos sometidos a fuerzas, como calcular la masa y la tensión en un plano inclinado