Problema nº 10 de dinámica, masa y tensión en un plano inclinado - TP08

Enunciado del ejercicio nº 10

Se aplica una fuerza horizontal de 200 N sobre la masa m₁ = 4 kg de la figura (β = 60°).

Calcular el valor de m₂ y la tensión de la cuerda, si el sistema asciende con una aceleración de 0,1 m/s².

Desarrollo

Datos:

F = 200 N

m₁ = 4 kg

β = 60°

a = 0,1 m/s²

g = 9,80665 m/s²

Fórmulas:

Condición de equilibrio (Primera ley de Newton):

∑Fₓ = 0

∑F_y = 0

Esquema:

Solución

Primero realizamos el diagrama de las fuerzas. Para esto elegimos la dirección y el sentido de los ejes convenientemente.

Diagrama del cuerpo 1:

Diagrama del cuerpo 2:

Planteamos las ecuaciones para que el sistema cumpla las condiciones de equilibrio.

En el eje X hay movimiento, las fuerzas son:

Fₓ - P₁ₓ - T₂₁ = m₁·a (1)

T₁₂ - P₂ₓ = m₂·a (2)

Dado que:

T₁₂ = T₂₁ = T

Queda:

Fₓ - P₁ₓ - T = m₁·a (1)

T - P₂ₓ = m₂·a (2)

Por trigonometría sabemos que:

P₁ₓ = P₁·cos β

P₂ₓ = P₂·cos β

Fₓ = F·sen β

Reemplazamos en las ecuaciones (1) y (2):

F·sen β - P₁·cos β - T = m₁·a (3)

T - P₂·cos β = m₂·a (4)

Sumamos ambas ecuaciones miembro a miembro, obtenemos la ecuación del sistema:

F·sen β - P₁·cos β - P₂·cos β = m₁·a + m₂·a

Reemplazamos la fuerza peso por su expresión:

P = m·g

F·sen β - m₁·g·cos β - m₂·g·cos β = m₁·a + m₂·a

Despejamos m₂:

F·sen β - m₁·g·cos β - m₂·g·cos β = m₁·a + m₂·a

m₂·a + m₂·g·cos β = F·sen β - m₁·g·cos β - m₁·a

m₂·(a + g·cos β) = F·sen β - m₁·(g·cos β + a)

Reemplazamos con los valores y calculamos:

Cálculo de la masa

m₂ = 31,24242851 kg

Resultado, la masa del cuerpo 2 es:

m₂ = 31,24 kg

De la ecuación (4) despejamos T:

T - P₂·cos β = m₂·a

T = m₂·g·cos β + m₂·a

Reemplazamos con los valores y calculamos:

T = 31,24242851 kg·9,80665 m/s²·cos 60° + 31,24242851 kg·0,1 m/s²

T = 306,3835615 kg·m/s²·0,5 + 3,124242851 kg·m/s²

T = 153,1917808 kg·m/s² + 3,124242851 kg·m/s²

T = 156,3160236 N

Resultado, la tensión de la cuerda es:

T = 156,32 N

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo de cuerpos sometidos a fuerzas, como calcular la masa y la tensión en un plano inclinado