Sistema de mallas. Circuitos eléctricos
Sistema de mallas
Ejemplo nº 1
Determinar las incógnitas de todo el circuito.
Desarrollo
Datos:
V₁ = 20 V
V₂ = 30 V
V₃ = 10 V
V₄ = 20 V
Rpar = 10 Ω
Rimpar = 5 Ω
Esquema:
Esquema del circuito para resolver por el método de mallas
Solución
(1) V₁- V₂ = I₁·(R₁ + R₂ + R₅) - I₂·R₅ - I₃·0
(2) V₃ = I₂·(R₄ + R₅ + R₃) - I₁·R₅ - I₃·R₃
(3) V₂- V₄ = -I₁·0 - I₂·R₃ + I₃·(R₃ + R₆)
Reemplazando:
(1) 20 V - 30 V = I₁·(10 Ω + 5 Ω + 10 Ω) - I₂·10 Ω - I₃·0
(2) 10 V = I₂·(5 Ω + 10 Ω + 10 Ω) - I₁·10 Ω - I₃·10 Ω
(3) 30 V - 20 V = -I₁·0 - I₂·10 Ω + I₃·(10 Ω + 5 Ω)
(1) -10 V = I₁·25 Ω - I₂·10 Ω - I₃·0
(2) 10 V = -I₁·10 Ω + I₂·25 Ω - I₃·10 Ω
(3) 10 V = -I₁·0 - I₂·10 Ω + I₃·15 Ω
1) Determinante de todas las incógnitas = Δ
| Δ = | 25 Ω -10 Ω 0 Ω | -10 Ω 25 Ω -10 Ω | 0 Ω -10 Ω 15 Ω |
Δ = (9.375 + 0 + 0) Ω³ - (0 + 1.500 + 2.500) Ω³
Δ = 5.375 Ω³
2) Determinante de I₁ = Δ₁
| Δ₁ = | -10 V 10 V 10 V | -10 Ω 25 Ω -10 Ω | 0 Ω -10 Ω 15 Ω |
Δ₁ = (-3.750 + 1.000 + 0) V·Ω² - (0 - 1.000 - 1.500) V·Ω²
Δ₁ = -250 V·Ω²
3) Determinante de I₂ = Δ₂
| Δ₂ = | 25 Ω -10 Ω 0 Ω | -10 V 10 V 10 V | 0 Ω -10 Ω 15 Ω |
Δ₂ = (3.750 + 0 + 0) V·Ω² - (0 - 2.500 + 1.500) V·Ω²
Δ₂ = 4.750 V·Ω²
4) Determinante de I₃ = Δ₃
| Δ₃ = | 25 Ω -10 Ω 0 Ω | -10 Ω 25 Ω -10 Ω | -10 V 10 V 10 V |
Δ₃ = (6.250 - 1.000 + 0) V·Ω² - (0 + 1.000 - 2.500) V·Ω²
Δ₃ = 6.750 V·Ω²
Luego:
| I₁ = | Δ₁ |
| Δ |
| I₁ = | -250 V·Ω² |
| 5.375 Ω³ |
I₁ = -0,047 A
| I₂ = | Δ₂ |
| Δ |
| I₂ = | 4.750 V·Ω² |
| 5.375 Ω³ |
I₂ = 0,884 A
| I₃ = | Δ₃ |
| Δ |
| I₃ = | 6.750 V·Ω² |
| 5.375 Ω³ |
I₃ = 1,256 A
A I₁ se le invierte el sentido por ser negativo.
i₁ = I₁ = 0,047 A
i₃ = I₂ = 0,884 A
i₄ = I₃ = 1,256 A
i₆ = I₃ - I₂ = 0,372 A
i₅ = I₁ + I₂ = 0,931 A
i₂ = I₃ + I₁ = 1,303 A
Para verificar se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff
1) Se estudia una malla (1° ley)
2) Se estudia un nodo (2° ley)
Otro método consiste en comparar la potencia de los elementos activos contra la potencia de los elementos pasivos.
P₂ = V₂·I₂ = 30 V·1,303 A = 39,09 W
P₃ = V₃·I₃ = 10 V·0,884 A = 8,84 W
P₄ = V₄·I₄ = 20 V·1,256 A = 25,12 W
P₁ = V₁·I₁ = 20 V·0,047 A = 0,94 W
Potencia de elementos activos = 47,93 W
PR12 = (R₂ + R₁)·i₁² = 15 Ω·(0,047 A)² = 0,0331 W
PR4 = R₄·i₃² = 5 Ω·(0,884 A)² = 3,9073 W
PR6 = R₆·i₄² = 5 Ω·(1,256 A)² = 7,8877 W
PR5 = R₅·i₅² = 10 Ω·(0,931 A)² = 8,6676 W
PR3 = R₃·i₆² = 10 Ω·(0,372 A)² = 1,3838 W
Potencia de elementos pasivos = 47,94 W
| Potencia de elementos activos Potencia de elementos pasivos | = 47,93 W = -47,94 W |
| ≈0 W |
Medición de tensiones en corriente contínua
También se puede medir corriente alterna mediante rectificación previa.
Bobina móvil/imán permanente
Esquema básico para medir tensión
Diagrama del circuito, el campo eléctrico, las fuerzas y los momentos
CM = F·d
CM: cupla motríz
F: fuerza (N)
d: ancho de la espira.
Pero: F = Φ·h·i
CM = Φ·d·h·i
CM = k·i (1)
CR = θ·U (2)
CR: cupla del resorte
θ: ángulo
U: constante del resorte (en física I era k, ver apunte "Fuerza elástica")
En el equilibrio debe ser:
CM = CR
k·i = θ·U
| θ = | k·i |
| U |
Comercialmente se obtienen instrumentos con las siguientes características:
Resistencia de la bobina: RB = 2 a 20 Ω
Corriente máxima en la bobina: iM = 0,1 a 10 mA
Para el amperímetro:
Esquema básico para medir corriente
iB·RB = i·RS
I = iB + i
i = I - iB
iB·RB = (I - iB)·RS
iB·RB = I·RS - iB·RS
iB·RB + iB·RS = I·RS
iB·(RB + RS) = I·RS
| I | = | RB + RS |
| iB | RS |
| I | = m |
| iB |
m: Poder de multiplicación shunt
RB + RS = m·RS
RB = RS·(m - 1)
| RS = | RB |
| m - 1 |
Ejemplo nº 2
Para:
I₁ = 1 A
Diagrama de un circuito para medir corriente
| m₁ = | 1 A |
| 0,01 A |
m₁ = 100
| RS1 = | 10 Ω |
| 100 - 1 |
| RS1 = | 10 Ω |
| 99 |
RS1 = 0,1 Ω
Ejemplo nº 3
Para calcular 2 rangos más:
I₂ = 10 A
I₃ = 100 A
| m₂ = | 10 A |
| 0,01 A |
m₂ = 1.000
| RS2 = | 10 Ω |
| 1.000 - 1 |
| RS2 = | 10 Ω |
| 999 |
RS2 = 0,01 Ω
| m₃ = | 100 A |
| 0,01 A |
m₃ = 10.000
| RS3 = | 10 Ω |
| 10.000 - 1 |
| RS3 = | 10 Ω |
| 9.999 |
RS3 = 0,001 Ω
Las resistencias internas equivalentes del amperímetro es muy muy muy pequeña.
Diagrama de un circuito para medir corriente
El amperímetro se conecta en serie.
Para el voltímetro:
Esquema básico para medir tensión
V = (RB + Rₘ)·iB
| iB = | VB |
| RB |
| V = | (RB + Rₘ)·VB |
| RB |
| m = | V |
| VB |
m: poder multiplicador shunt
| m = | RB + Rₘ |
| RB |
RB + Rₘ = m·RB
Rₘ = RB·(m - 1)
Ejemplo nº 4
Para calcular un voltímetro de 4 rangos:
V₁ = 100 V
V₂ = 200 V
V₃ = 500 V
V₄ = 1.000 V
| m₁ = | 100 V |
| 0,1 V |
m₁ = 1.000
Rₘ₁ = 10 Ω·(1.000 - 1)
Rₘ₁ = 10 Ω·999
Rₘ₁ = 9.990 Ω
| m₂ = | 200 V |
| 0,1 V |
m₂ = 2.000
Diagrama de un circuito para medir tensión
Rₘ₂ = 10 Ω·(2.000 - 1) - Rₘ₁
Rₘ₂ = 10 Ω·1.999 - 9.990 Ω
Rₘ₂ = 19.999 Ω - 9.990 Ω
Rₘ₂ = 10.000 Ω
| m₃ = | 500 V |
| 0,1 V |
m₃ = 5.000
Rₘ₃ = 10 Ω·(5.000 - 1) - Rₘ₁ - Rₘ₂
Rₘ₃ = 10 Ω·4.999 - 10.000 Ω - 9.990 Ω
Rₘ₃ = 49.990 Ω - 19.990 Ω
Rₘ₃ = 30.000 Ω
| m₄ = | 1.000 V |
| 0,1 V |
m₄ = 10.000
Rₘ₄ = 10 Ω·(10.000 - 1) - Rₘ₁ - Rₘ₂ - Rₘ₃
Rₘ₄ = 10 Ω·9.999 - 10.000 Ω - 9.990 Ω - 30.000 Ω
Rₘ₄ = 99.990 Ω - 49.990 Ω
Rₘ₄ = 50.000 Ω
Diagrama de un circuito para medir tensión
Las resistencias internas equivalentes del voltímetro son muy grandes. El voltímetro se conecta en paralelo.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
¿Qué es una corriente de malla?