Problema nº 8 de tensiones y masa en un plano inclinado - TP04
Enunciado del ejercicio nº 8
En el plano inclinado de la figura calcular los valores de T₁, T₂ y m₃ conociendo α, β, m₁ y m₂.
Desarrollo
Datos:
m₁ = 50 kg
m₂ = 400 kg
α = 60°
g = 9,80665 m/s²
Fórmulas:
Condición de equilibrio (Primera ley de Newton):
∑Fₓ = 0
∑Fy = 0
P = m·g
Esquema:
Solución
Primero realizamos el diagrama de las fuerzas. Para esto elegimos la dirección y el sentido de los ejes convenientemente.
Cuerpo 1:
Cuerpo 2:
Cuerpo 3:
Planteamos las ecuaciones para que el sistema cumpla las condiciones de equilibrio, por cada cuerpo.
En el eje X las fuerzas son:
T₁ - P₁ₓ = 0 (1)
T₂ + P₂ₓ - T₁ = 0 (2)
P₃ₓ - T₂ = 0 (3)
Por trigonometría establecemos las siguientes relaciones:
a)
| sen γ = | P₁ₓ |
| P₁ |
P₁ₓ = P₁·sen γ
Reemplazamos en la ecuación (1):
T₁ - P₁·sen γ = 0
Reemplazamos P₁ mediante la fórmula de la fuerza peso:
P = m·g
T₁ - m₁·g·sen γ = 0 (4)
b)
| sen α = | P₂ₓ |
| P₂ |
P₂ₓ = P₂·sen α
Reemplazamos en la ecuación (2):
T₂ + P₂·sen α - T₁ = 0
Reemplazamos P₂ mediante la fórmula de la fuerza peso:
P = m·g
T₂ + m₂·g·sen α - T₁ = 0 (5)
c)
| sen α = | P₃ₓ |
| P₃ |
P₃ₓ = P₃·sen α
Reemplazamos en la ecuación (3):
P₃·sen α - T₂ = 0
Reemplazamos P₃ mediante la fórmula de la fuerza peso:
P = m·g
m₃·g·sen α - T₂ = 0 (6)
Calculamos:
De la ecuación (4) despejamos T₁:
T₁ - m₁·g·sen γ = 0
T₁ = m₁·g·sen γ
Resultado a), el valor de la tensión 1 es:
T₁ = m₁·g·sen γ
Con el dato de T₁ reemplazamos en la ecuación (5):
T₂ + m₂·g·sen α - m₁·g·sen γ = 0
Despejamos T₂:
T₂ = m₁·g·sen γ - m₂·g·sen α
Resultado b), el valor de la tensión 2 es:
T₂ = g·(m₁·sen γ - m₂·sen α)
Hallado T₂ reemplazamos en la ecuación (6):
m₃·g·sen α - (m₁·g·sen γ - m₂·g·sen α) = 0
m₃·g·sen α - m₁·g·sen γ + m₂·g·sen α = 0
Despejamos m₃:
m₃·g·sen α = m₁·g·sen γ - m₂·g·sen α
Cancelamos g:
m₃·sen α = m₁·sen γ - m₂·sen α
| m₃ = | m₁·sen γ - m₂·sen α |
| sen α |
Resultado c), el valor de la masa 3 es:
| m₃ = | m₁·sen γ - m₂·sen α |
| sen α |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular las tensiones y la masa en un plano inclinado. Problemas de estática resueltos y fáciles.