Problema nº 2 de condición de equilibrio y plano inclinado - TP09
Enunciado del ejercicio nº 2
En un plano inclinado de ángulo α se tienen dos bloques de masas m₁ y m₂ como muestra la figura. Calcular la fuerza F necesaria para poder mantenerlos en equilibrio y el valor de la tensión T.
Desarrollo
Fórmulas:
Condición de equilibrio (Primera ley de Newton):
∑Fₓ = 0
∑Fy = 0
Esquema:
Solución
Primero realizamos el diagrama de las fuerzas. Para esto elegimos la dirección y el sentido de los ejes convenientemente.
Para m₁:
Planteamos las ecuaciones para que el sistema cumpla las condiciones de equilibrio.
En el eje X las fuerzas son:
Fₓ - P₁ₓ - T₂₁ = 0 (1)
En el eje Y las fuerzas son:
N₁ - P1y - Fy = 0 (2)
Para m₂:
Planteamos las ecuaciones para que el sistema cumpla las condiciones de equilibrio.
En el eje X las fuerzas son:
T₁₂ - P₂ₓ = 0 (3)
En el eje Y las fuerzas son:
N₂ - P2y = 0 (4)
a)
Para que el bloque no se mueva las fuerzas sobre los ejes deben estar en equilibrio.
Consideremos que:
T₁₂ = T₂₁ = T
T₁₂: tensión que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2.
T₂₁: tensión que el cuerpo 2 ejerce sobre el cuerpo 1.
Poseen el mismo módulo y sentido opuesto.
Sumamos las fuerzas sobre el eje X, ecuaciones (1) y (3):
| Fₓ | - | P₁ₓ | - | T | = | 0 | ||
| T | - | P₂ₓ | = | 0 | ||||
| Fₓ | - | P₁ₓ | + | 0 | - | P₂ₓ | = | 0 |
Fₓ - P₁ₓ - P₂ₓ = 0 (5)
Por trigonometría sabemos que:
| cos α = | Fₓ |
| F |
Fₓ = F·cos α
| sen α = | P₁ₓ |
| P₁ |
P₁ₓ = P₁·sen α
| sen α = | P₂ₓ |
| P₂ |
P₂ₓ = P₂·sen α
Reemplazamos en (5):
Fₓ - P₁ₓ - P₂ₓ = 0
F·cos α - P₁·sen α - P₂·sen α = 0
Despejamos F:
F·cos α = P₁·sen α + P₂·sen α
| F = | P₁·sen α + P₂·sen α |
| cos α |
P = m·g
| F = | m₁·g·sen α + m₂·g·sen α |
| cos α |
| F = | (m₁ + m₂)·g·sen α |
| cos α |
F = (m₁ + m₂)·tg α
Resultado a), el valor de la fuerza es:
F = (m₁ + m₂)·tg α
b)
De la ecuación (3) despejamos T₁₂ (T):
T₁₂ - P₂ₓ = 0
T = P₂ₓ
T = P₂·sen α
T = m₂·g·sen α
Resultado b), el valor de la tensión es:
T = m₂·g·sen α
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular la fuerza de equilibrio en un plano inclinado