Problema nº 7 de movimiento armónico simple, resortes - TP03

Enunciado del ejercicio nº 7

Dos resortes, de 0,2 m de longitud natural cada uno, pero con constantes de recuperación k₁ y k₂ diferentes, están unidos a las caras opuestas de un bloque de masa m situado sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Los dos extremos de los resortes se fijan a dos clavos P1 y P2 situados a 10 cm de las posiciones iniciales de los resortes. Sean

k₁ = 1 N/m

k₂ = 3 N/m

m = 0,1 kg.

Esquema de resortes sometidos a elongación horizontal

a) Calcúlese la longitud de cada resorte cuando el bloque está en la nueva posición de equilibrio, después de sujetar los resortes a los clavos.

b) Determínese el período de oscilación del bloque si este se desplaza ligeramente de su nueva posición de equilibrio y se abandona a si mismo.

Solución

Teniendo en cuenta que se tiene las longitudes originales a cuales las denominaremos Lo1 y Lo2 = 0,2 m, tendremos la resultante de las fuerzas por los 2 resortes:

x₁ = x₂ = 0,1 m

k₁ = 1 N/m

k₂ = 3 N/m

F_T = F₁ + F₂

Deduciendo y aplicando F = k·x, tenemos:

K_total·x_total = k₁·x₁ + k₂·x₂

K_total = k₁ + k₂; y,

x_total = x₁ + x₂; por consiguiente:

4(x₁ + x₂) = k₁·x₁ + k₂·x₂

4 =	k₁·(x₁ - x₂) + k₂·x₂
	x₁ - x₂ + x₂

Desarrollando:

4·x₁ = k₁·(x₁ - x₂) + k₂·x₂

Dejamos todo para despejar x₂, que es el factor a sacar su valor:

x₂ =	4·x₁ - k₁·x₁
	k₂ - k₁

x₂ =	4·0,2 - 1·0,2
	3 - 1

x₂ = 0,3 m

xₜ = xₜ + x₂

x₁ = xₜ - x₂

x₁ = 0,2 - 0,3 = 0,1 m

Ahora L₁ = 0,1 m y L₂ es 0,3 m

T = 2·π·√m/k₁

T = 2·π·√0,1/4 = 0,993 s

Autor: Jefferson Martínez Jara. Ecuador.

Ejemplo de cóamo resolver ejercicios de movimiento periódico con resortes