Espejos esféricos

Espejos esféricos

Entre los espejos cuya superficie reflectora es curva, los más sencillos de construir son los espejos esféricos. Casquetes esféricos de metal o vidrio plateado, que pueden clasificarse en dos grupos, según que la superficie reflectora sea hueca o bombeada: espejos cóncavos y espejos convexos, respectivamente. Se denomina eje óptico principal la recta que por el centro C de la esfera, es perpendicular al plano base el casquete y atraviesa el espejo en el polo o vértice S. (Figura 12)

Figura 12: Formación de un espejo esférico

Espejos cóncavos

En el estudio de estos espejos seguiremos la misma marcha que en el de los espejos planos, empezando por determinar experimentalmente la naturaleza, posición y magnitud de sus imágenes.

La abertura del espejo o su diámetro AB del círculo base; su abertura angular es el ángulo ACB. Nos limitaremos en nuestro estudio a los espejos de pequeña abertura, con diámetro inferior a la mitad del radio de la esfera, que corresponde a un ángulo menor que 20 a 25°.

1- Tomemos un objeto muy luminoso situado a gran distancia del espejo; suele decirse en este caso que el objeto está infinitamente alejado del espejo o que está situado en el infinito (para ello basta que el objeto esté situado a una distancia comprendida entre 50 a 100 veces el radio de curvatura del espejo). Podrá utilizarse para ello una lámpara eléctrica. Tratemos de recoger los rayos reflejados sobre una pequeña pantalla de cartón blanco, y comprobemos que la mitad la distancia entre el centro de espejo y su vértice se tiene una imagen muy clara, pero muy pequeña, e invertida, de la lámpara y de los objetos situados a su alrededor; el máximo de nitidez se obtiene cuando la pantalla está situada perpendicularmente al eje óptico que pasa por la lámpara. Este plano en el que se encuentran las imágenes de todos los puntos infinitamente alejados, se denomina plano focal del espejo.

2- Aproximemos el objeto al espejo, de forma que la imagen permanezca al principio en el plano focal, después, a medida que el objeto se aproxima al espejo.

3- La imagen de la pantalla es siempre invertida, y aumentada cada vez más. (Figura 13).

Figura 13: Imagen reflejada en un espejo cóncavo

El ramillete mágico (El espejo da una imagen real derecha del ramo invertido y la maceta vacía parece una maceta de flores)

4- Cuando el objeto llega al plano frontal (perpendicular al eje óptico) que pasa por el centro C del espejo, la pantalla donde recoge la imagen debe estar también colocada en el mismo plano; esta imagen, siempre invertida (Figura 14a), tiene exactamente la misma dimensión que el objeto.

Figura 14a: Imagen reflejada en un espejo cóncavo

Figura 14b: Imagen reflejada en un espejo cóncavo

5- Si continúa aproximándose el objeto, la imagen sigue alejándose cada vez más rápidamente (Figura 14b), llegando a ser, siempre invertida, mayor que el objeto.

6- Cuando el objeto se encuentra en el plano focal, la imagen se encuentra en el infinito su dimensión es enorme y, por consiguiente, es muy poco luminosa. Encontramos en los párrafos 4 y 5 resultados conformes con el principio del retorno inverso de la luz relativo a la intercambiabilidad de la imagen y el objeto.

7- Cuando el objeto sobrepasa el plano focal, aproximándose al espejo, no es posible recoger la imagen en una pantalla; la imagen, que hasta ese momento era real, se hace virtual. Si nos colocamos de forma que recibamos en el ojo una parte de los rayos reflejados, observamos una imagen todavía mayor que el objeto, pero del mismo sentido, es decir, derecha, y que disminuye cuando el objeto se aproxima al espejo (Figura 16)

Figura 16: Imagen reflejada en un espejo cóncavo

El espejo cóncavo puede dar, pues, imágenes reales y virtuales. Las imágenes y el objeto se desplazan siempre en sentido inverso.

Es posible, valiéndose de los resultados de las experiencias precedentes, trazar una curva que permita encontrar la posición de la imagen, conocida la del objeto, o inversamente. Tomemos dos ejes es de coordenadas rectangulares SP y SP' (Figura 16). Sobre el eje abscisas SP se llevan las distancias p del objeto al vértice del objeto, y sobre el eje de ordenadas SP' las distancias correspondientes p' de la imagen del espejo. La curva que une los representativos obtenidos pasa por el punto de coordenadas p = R y p' = R la curva es una hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son paralelas a los ejes de coordenadas, a la distancia R se la denomina distancia o longitud focal f la mitad del radio de altura R del espejo.

También se puede representar por una curva el aumento lineal, es decir, la relación entre las dimensiones de la imagen y el objeto a las diversas distancias p del objeto al espejo. Para ello basta con medir la imagen en la pantalla. Esta relación será negativa cuando la imagen sea invertida, como sucede cuando p varia entre f y el infinito, de esta forma se obtiene una rama de otra hipérbola.

Teoría de los espejos cóncavos

Aplicando las leyes de la reflexión a los espejos esféricos cóncavos es posible obtener la dirección de los rayos reflejados, debiendo llegarse de nuevo, mediante razonamiento, a los resultados de las experiencias anteriores, la teoría permitirá establecer, además, fórmulas matemáticas y construcciones gráficas que fijen la posición, la dimensión y el sentido de la imagen.

Sea M un espejo esférico (Figura 17) de centro C y vértice S, y consideremos un rayo incidente AI procedente del objeto a, situado cerca del eje óptico, y que encuentra el espejo en I.

Figura 17: Incidencia de los rayos en un espejo cóncavo

Para determinar el ángulo de incidencia que traza la normal a la superficie en el punto I; como en una esfera los radios son perpendiculares a los planos tangentes, estos radios son:, por consiguiente, las normales buscadas. El rayo reflejado IR tendrá, pues, que: 1) Estar en el plano AIC, que tomaremos como palmo de la figura, y 2) Formar con IC un ángulo igual al AIC. Para encontrar más fácilmente la dirección del rayo reflejado, se traza por el centro C un radio CS' paralelo al rayo luminoso incidente AI (CS' es un eje óptico secundario). El rayo reflejado IR corta CS'. En efecto, los ángulos AIC y ICS' son iguales por alternos internos, y el triángulo ICF' es isósceles, siendo FC = IF'. Si se traza desde F' la perpendicular F'H a IC se tendrá: IH = HC = R/2 siendo R el radio de la esfera; en el triángulo IF'C, F'C difiere muy poco de C, y por lo tanto, de R/2 y F' está muy cerca del punto medio de S'C. En el triángulo HCF'HC/2 = F'C·cos î

ICF', por lo que, si î es el ángulo de incidencia:

En virtud de la hipótesis que hemos formado, la abertura del espejo la semiabertura angular es pequeña, y el ángulo î = ICS' es inferior a la semiabierta angular, y por consiguiente menor de 10 %; es decir, cos î está comprendida entre cos 0° y cos 10°, o sea entre 1 y 0,985.

F'C, que es igual a R/2, cuando î es muy pequeño y próximo de 0° aumenta ligeramente hasta R/2, cuando î vale 10°, que es ya un ángulo notable.

Espejos convexos

Son espejos esféricos que reflejan los rayos por su cara convexa. comprueba inmediatamente que es imposible obtener imágenes reales de los objetos que se colocan ante tales espejos; sólo dan imágenes virtuales derechas y más pequeñas que el objetos.

Teoría de los espejos convexos

Los rayos paralelas se reflejan como si procedieran de un foco situado en el eje secundario paralelo a los rayos incidentes, pero este foco es, en este caso, virtual, y los rayos reflejados divergen. Puede hacerse nuevamente sobre la figura el mismo razonamiento que en el caso de los espejos cóncavos.

Un punto a tiene su imagen virtual A' en el eje secundar o AC. Se hará de SB = p, SB' = p, observando que si se escoge como sentido positivo el inverso de la luz incidente (es decir, desde S hacia a tanto p, como la longitud focal SF son negativos, se obtiene en nuevo la relación.

Figura 18: Incidencia de los rayos en un espejo convexo

Espejos parabólicos

Hemos visto que cuando la abertura de un espejo esférico se hace a vez mayor, los rayos paralelos dirigido hacia los bordes del espejo (rayos marginales) pasan al reflejarse por puntos que se separan cada vez más del foco (rayos centrales). Esta desviación denomina aberración de esfericidad, y es del

1,5 por ciento para abertura de 20°

3,5 por ciento para abertura de 30°

6,4 por ciento para abertura de 40°

12,1 por ciento para abertura de 60°

Esta aberración es la que hace que los espejos cóncavos no puedan utilizarse en los proyectores de ciertos telescopios, por lo que emplean espejos cuya superficie es un paraboloide de revolución. os espejos son los denominados parabólicos, porque su superficie la engendrada por la rotación alrededor de su eje de la curva nominada parábola. La propiedad fundamental de esta curva es la siguiente (Figura 19)

Figura 19: Incidencia de los rayos en un espejo parabólico

Sobre el eje de simetría de la curva existe un foco F tal que un rayo vector FI cualquiera forma con la normal de la curva IN un ángulo igual al que forma una paralela IR al eje con la misma normal.

Esta propiedad nos permite asimilar FI a una rayo luminoso incidente, e IR al rayo reflejado, o inversamente. Por consiguiente, no se produce aberración alguna en el foco de estos espejos, a los cuales pueden darse una gran abertura. Los proyectores de los automóviles son espejos parabólicos en cuyos focos se colocan pequeñas lámparas eléctricas de filamentos muy cortos, que constituyen fuentes luminosas puntuales. Gracias al excelente rendimiento de estos espejos, de gran abertura, el alcance y la luminosidad de estos faros son considerables.

La longitud focal de un espejo esférico

Si se conoce el radio de curvatura R se tendrá inmediatamente f = R/2. En el caso de un espejo cóncavo bastará:

1) Medir la distancia p de un objeto y la p' de su imagen al espejo, y aplicar después la fórmula.

Es ventajoso tratar de obtener la imagen en el mismo plano que el porque entonces p = p' = 2·f

2) Medir el diámetro de la imagen focal del Sol:

F = 0,0093

Figura 20: Determinación de la longitud focal de un espejo esférico

Bibliografía:

• VALERO, Michel. Física Fundamental. Ed. Norma
• Enciclopedia Larousse tomo 2
• FISICA, MATERIA Y ATOMOS: Círculo de lectores

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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Espejos cóncavos y convexos. La longitud focal de un espejo esférico