El sonido y las ondas: La ecuación de onda

La ecuación de onda

El movimiento ondulatorio puede expresarse en forma matemática mediante una ecuación que describa un movimiento vibratorio avanzando por un medio. Para ello es preciso partir de la ecuación que define la oscilación del foco u origen de la perturbación. Si el movimiento es armónico simple su ecuación correspondiente será:

Y = A·sen ω·t

Y = A·sen (2·π·f·t)

Donde la elongación se representa, en este caso, por la letra Y, pues en ondas transversales, como sucede en las cuerdas, equivale a una altura.

Dado que la perturbación avanza a una velocidad v, en recorrer una distancia r demandará un tiempo:

Eso significa que el estado de perturbación de cualquier punto P situado a una distancia r del foco O coincidirá con el que tenía el foco t' segundos antes. Se trata de un tiempo de retardo que indica en cuánto se ha retrasado la perturbación al llegar a P respecto del foco.

Por tanto, si en la ecuación de la elongación que describe la situación del foco, se cambia t por t - t' se obtiene una ecuación que describe el estado de perturbación del punto P:

Dado que t y r hacen referencia a instantes genéricos y distancias genéricas respecto del foco O, la anterior ecuación describe el estado de perturbación del medio, medido por la altura Y en cualquier punto y en cualquier instante, lo que constituye una buena descripción matemática de una onda armónica. El argumento de la función seno correspondiente puede expresarse también en la forma.

Dado que ω = 2·π/T y v = λ/T; lo cual permite escribir la ecuación de ondas en función de sus parámetros o constantes características, tales como la amplitud A, el período T y la longitud λ.

La ecuación de onda recibe también el nombre de función de onda y puede referirse a una perturbación genérica que no consista precisamente en una altura, si se sustituye Y por la letra griega Ψ que designa la magnitud de la perturbación. En tal caso, la función de onda toma la forma.

En donde Ψ puede representar la alteración, con el tiempo, de propiedades físicas tan diversas como una densidad, una presión, un campo eléctrico o un campo magnético, por ejemplo, y su propagación por el espacio.

Ejemplo de la ecuación de una onda

La ecuación de una onda permite determinar el estado de perturbación en cualquier instante y en cualquier punto del medio, por lo que define completamente a la onda correspondiente. En el caso de una onda armónica viene dada por la expresión

Siendo A (amplitud), T (período) y λ (longitud de onda) las constantes o parámetros que la caracterizan y t y r las variables que indican el instante de tiempo considerado y la distancia al foco del punto en el que se desea estudiar la perturbación. Si se conocen A, T y λ es posible escribir la ecuación de Ψ y viceversa, si se conoce Ψpor comparación pueden identificarse los valores de A, T y λ.

La ecuación de una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda viene dada por la expresión

Ψ = 0,1·(sen π)·(2·t - 4·r)

Se trata de determinar:

a) La amplitud A de la onda,

b) Su período T,

c) Su longitud de onda,

d) La velocidad de avance de la perturbación,

e) La magnitud de la perturbación en un punto que dista 0,2 m del foco al cabo de 0,5 segundos de iniciarse el movimiento.

• Nota: Todas las cantidades están expresadas en unidades S.I.

Para resolver las cuestiones a, b, c basta con identificar la ecuación general con la que corresponde al movimiento ondulatorio concreto que se pretende analizar. Por tanto:

a) Comparando el factor que multiplica en ambas a la función seno resulta:

A = 0,1 m

b) Comparando el argumento o ángulo de la función seno, también llamado fase de la onda correspondiente, resulta:

En lo que respecta a los coeficientes respectivos de la variable t se tiene:

c) En lo que respecta a los coeficientes de la variable r:

d) La velocidad v es el cociente entre λ y T:

e) Sustituyendo los valores de t = 0,5 s y r = 0,2 m en la expresión de Ψ resulta:

Ψ = 0,1·sen π·(2·0,5 - 4·0,2) = 0,02 m

Es decir, en ese punto y en ese instante la magnitud de la perturbación, medida por la altura que alcanza la cuerda, es de 0,02 m, la quinta parte de la máxima altura o elongación dada por la amplitud A = 0,1 m.

Ejemplo de la influencia del medio en la velocidad del sonido

En los medios gaseosos como el aire el sonido se propaga más lentamente que en los medios sólidos. Así, la velocidad del sonido es 15,4 veces mayor en el hierro que en el aire. Se trata de calcular en cuánto se retrasaría la recepción del sonido del silbato de un tren propagado por el aire respecto del ruido de sus ruedas propagado por los raíles para un observador que se encuentre a dos kilómetros de la locomotora, considerando la velocidad del sonido en el aire a la temperatura ambiente igual a 340 m/s.

Dado que el sonido en un medio homogéneo se propaga a velocidad constante, se cumplirá la relación v = s/t y por tanto:

El tiempo de retraso entre ambas será su diferencia, es decir:

t = t_aire - t_hierro = 5,9 - 0,4 = 5,5 s

Transmisión de la energía en un movimiento ondulatorio

La propagación de una onda lleva consigo un flujo o transporte de energía del foco emisor al medio a lo largo de la dirección en la que la onda avanza. Si la perturbación que se propaga consiste en un movimiento vibratorio armónico es posible determinar la magnitud de dicho flujo de energía.

En un medio elástico el movimiento vibratorio de cada punto se conserva en el tiempo, no hay disipación de la energía de vibración y, por tanto, la energía mecánica total, suma de cinética y potencial, se mantiene constante. Dado que en un movimiento armónico simple La energía total coincide con la energía potencial máxima o con la cinética máxima, para cada partícula del medio alcanzada por la perturbación se cumplirá:

E = E_c + Eₚ = E_{c max} = ½·m·v²ₘₐₓ

Siendo vₘₐₓ = ω·A y ω = 2·π f, es decir:

E = ½·m·(2·π·f·A)² = 2·m·π²·f²·A²

Si n es el número de partículas contenido en la unidad de volumen del medio alcanzado por la perturbación, la energía de vibración acumulada en dicho volumen unidad será:

Eᵥ = n·E = 2·π²·m·n·f²·A² = 2·π²·r·f²·A²

Donde ρ representa la densidad del medio y coincide con el producto de m·n, es decir, con la masa de las partículas contenidas en una unidad de volumen.

Dado que la intensidad I de un movimiento ondulatorio representa la energía que atraviesa la superficie unidad en la unidad de tiempo, equivaldrá a la energía total de vibración contenida en el cilindro obtenido cuando una superficie unidad avanza una longitud igual a la que recorre la onda en un segundo. Dicho volumen, igual al producto de la base por la altura, coincidirá con la velocidad v de la onda:

V = base×altura = 1 m²·v·1 s = v

Por tanto la intensidad vendrá dada por el producto de Eᵥ por V:

I = Eᵥ·V = 2·π²·r·v·f²·A²

Es decir, la intensidad de un movimiento ondulatorio, y por tanto la energía asociada a la onda, es directamente proporcional al cuadrado de su amplitud A y al cuadrado de su frecuencia f. Las ondas de alta frecuencia serán más energéticas que las de frecuencia baja y lo mismo sucederá respecto de la amplitud.

La naturaleza del sonido

Las ondas sonoras constituyen un tipo de ondas mecánicas que tienen la virtud de estimular el oído humano y generar la sensación sonora. En el estudio del sonido se deben distinguir los aspectos físicos de los aspectos fisiológicos relacionados con la audición. Desde un punto de vista físico el sonido comparte todas las propiedades características del comportamiento ondulatorio, por lo que puede ser descrito utilizando los conceptos sobre ondas. A su vez el estudio del sonido sirve para mejorar la comprensión de algunos fenómenos típicos de las ondas. Desde un punto de vista fisiológico sólo existe sonido cuando un oído es capaz de percibirlo.

El sonido y su propagación

Las ondas que se propagan a lo largo de un muelle como consecuencia de una compresión longitudinal del mismo constituyen un modelo de ondas mecánicas que se asemeja bastante a la forma en la que el sonido se genera y se propaga. Las ondas sonoras se producen también como consecuencia de una compresión del medio a lo largo de la dirección de propagación. Son, por tanto, ondas longitudinales.

Si un globo se conecta a un pistón capaz de realizar un movimiento alternativo mediante el cual inyecta aire al globo y lo toma de nuevo, aquél sufrirá una secuencia de operaciones de inflado y desinflado, con lo cual la presión del aire contenido dentro del globo aumentará y disminuirá sucesivamente. Esta serie de compresiones y encarecimientos alternativos llevan consigo una aportación de energía, a intervalos, del foco al medio y generan ondas sonoras. La campana de un timbre vibra al ser golpeada por su correspondiente martillo, lo que da lugar a compresiones sucesivas del medio que la rodea, las cuales se propagan en forma de ondas. Un diapasón, la cuerda de una guitarra o la de un violín producen sonido según un mecanismo análogo.

En todo tipo de ondas mecánicas el medio juega un papel esencial en la propagación de la perturbación, hasta el punto de que en ausencia de medio material, la vibración, al no tener por donde propasarse, no da lugar a la formación de la onda correspondiente. La velocidad de propagación del sonido depende de las características del medio. En el caso de medios gaseosos, como el aire, las vibraciones son transmitidas de un punto a otro a través de choques entre las partículas que constituyen el gas, de ahí que cuanto mayor sea la densidad de éste, mayor será la velocidad de la onda sonora correspondiente. En los medios sólidos son las fuerzas que unen entre sí las partículas constitutivas del cuerpo las que se encargan de propagar la perturbación de un punto a otro. Este procedimiento más directo explica que la velocidad del sonido sea mayor en los sólidos que en los gases.

Sonido físico y sensación sonora

No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oído humano, el cual es sensible únicamente a aquellas cuya frecuencia está comprendida entre los 20 y los 20.000 Hz. En el aire dichos valores extremos corresponden a longitudes de onda que van desde 16 metros hasta 1,6 centímetros respectivamente. En general se trata de ondas de pequeña amplitud.

Cuando una onda sonora de tales características alcanza la membrana sensible del tímpano, produce en él vibraciones que son transmitidas por la cadena de huesecillos hasta la base de otra membrana situada en la llamada ventana oval, ventana localizada en la cóclea o caracol. El hecho de que la ventana oval sea de 20 a 30 veces más pequeña que el tímpano da lugar a una amplificación que llega a aumentar entre 40 y 90 veces la presión de la onda que alcanza al tímpano. Esta onda de presión se propaga dentro del caracol a través de un líquido viscoso hasta alcanzar otra membrana conectada a un sistema de fibras fijas por sus extremos a modo de cuerdas de arpa, cuyas deformaciones elásticas estimulan las terminaciones de los nervios auditivos. Las señales de naturaleza eléctrica generadas de este modo son enviadas al cerebro y se convierten en sensación sonora. Mediante este proceso el sonido físico es convertido en sonido fisiológico.

Cualidades del sonido

El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas con diferentes propiedades de las ondas sonoras.

Intensidad

La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad acústica. La intensidad acústica es una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el medio como consecuencia de la propagación de la onda.

Se define como la energía que atraviesa por segundo una superficie unidad dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación. Equivale a una potencia por unidad de superficie y se expresa en W/m². La intensidad de una onda sonora es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de su amplitud y disminuye con la distancia al foco.

La magnitud de la sensación sonora depende de la intensidad acústica, pero también depende de la sensibilidad del oído. El intervalo de intensidades acústicas que va desde el umbral de audibilidad, o valor mínimo perceptible, hasta el umbral del dolor es muy amplio, estando ambos valores límite en una relación del orden de 10¹⁴

Debido a la extensión de este intervalo de audibilidad, para expresar intensidades sonoras se emplea una escala cuyas divisiones son potencias de diez y cuya unidad de medida es el decibelio (dB). Ello significa que una intensidad acústica de 10 decibelios corresponde a una energía diez veces mayor que una intensidad de cero decibelios; una intensidad de 20 dB representa una energía 100 veces mayor que la que corresponde a 0 decibelios y así sucesivamente.

Otro de los factores de los que depende la intensidad del sonido percibido es la frecuencia. Ello significa que para una frecuencia dada un aumento de intensidad acústica da lugar a un aumento del nivel de sensación sonora, pero intensidades acústicas iguales a diferentes frecuencias pueden dar lugar a sensaciones distintas.

Tono

El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en la escala musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud física que está asociada al tono es la frecuencia. Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias bajas, mientras que los agudos son debidos a frecuencias altas. Así el sonido más grave de una guitarra corresponde a una frecuencia de 82,4 Hz y el más agudo a 698,5 hertz.

Junto con la frecuencia, en la percepción sonora del tono intervienen otros factores de carácter psicológico. Así sucede por lo general que al elevar la intensidad se eleva el tono percibido para frecuencias altas y se baja para las frecuencias bajas. Entre frecuencias comprendidas entre 1.000 y 3.000 Hz el tono es relativamente independiente de la intensidad.

Timbre

El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resulta característica de cada individuo.

El timbre está relacionado con la complejidad de las ondas sonoras que llegan al oído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, sólo los diapasones generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados por una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a un sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una frecuencia y de una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se considerara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es característica de cada instrumento y define su timbre. Debido a la analogía existente entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le denomina también color del tono.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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