Problema nº 8 de variación de la dilatación volumétrica de sólidos y líquidos - TP01
Enunciado del ejercicio nº 8
Un frasco de vidrio (α = 0,00000861) esta lleno de mercurio a 0 °C. Se calienta hasta 100 °C y se derraman 1,5 cm³ a esa temperatura. ¿Cuál es el volumen del frasco?
Desarrollo
Datos:
t₁ = 0 °C
t₂ = 100 °C
V = 1,5 cm³ (volumen excedente de mercurio)
α = 0,00000861/°C (coeficiente de dilatación lineal del hierro)
γ = 0,000182/°C (coeficiente de dilatación volumétrica de del mercurio)
Fórmulas:
ΔVc = 3·α·V1c·Δt° (dilatación volumétrica del frasco de vidrio)
ΔVₘ = γ·V₁ₘ·Δt° (dilatación volumétrica del mercurio)
Solución
Se asume que con 0 °C el volumen de mercurio se encuentra enrasado con el borde del frasco de vidrio, es decir el mismo volumen inicial para ambos:
V₁ₘ = V1c = V₁
Y:
V₂ₘ - V2c = 1,5 cm³ (1)
Entonces:
ΔVₘ = γ·V₁ₘ·Δt°
V₂ₘ - V₁ₘ = γ·V₁ₘ·Δt°
V₂ₘ - V₁ = γ·V₁·Δt°
ΔVc = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V1c = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V₁ = 3·α·V₁·Δt°
Despejamos V₁ en ambas ecuaciones:
V₂ₘ - V₁ = γ·V₁·Δt°
V₂ₘ = γ·V₁·Δt° + V₁
V₂ₘ = (γ·Δt° + 1)·V₁
V₂ₘ/(γ·Δt° + 1) = V₁ (3)
V2c - V₁ = 3·α·V₁·Δt°
V2c = 3·α·V₁·Δt° + V₁
V2c = (3·α·Δt° + 1)·V₁
V2c/(3·α·Δt° + 1) = V₁ (4)
Igualamos las ecuaciones (3) y (4):
| V₂ₘ | = | V2c |
| γ·Δt° + 1 | 3·α·Δt° + 1 |
V₂ₘ·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1) (2)
De la ecuación (1) despejamos V₂ₘ:
V₂ₘ = V2c + 1,5 cm³
Reemplazamos V₂ₘ en la ecuación (2):
(V2c + 1,5 cm³)·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1) (2)
A continuación despejamos V2c:
V2c·(3·α·Δt° + 1) + 1,5 cm³·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° + 1) - V2c·(γ·Δt° + 1) = -1,5 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·[(3·α·Δt° + 1) - (γ·Δt° + 1)] = -1,5 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° + 1 - γ·Δt° + 1) = -1,5 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° - γ·Δt°) = -1,5 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·(3·α - γ)·Δt° = -1,5 cm³·(3·α·Δt° + 1)
| V2c = | -1,5 cm³·(3·α·Δt° + 1) |
| (3·α - γ)·Δt° |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| V2c = | -1,5 cm³·[3·0,00000861/°C·(100 °C - 0 °C) + 1] |
| (3·0,00000861/°C - 0,000182/°C)·(70 °C - 20 °C) |
Se recomienda seguir atentamente la simplificación de las unidades y los signos.
| V2c = | -1,5 cm³·(0,00002583/°C·100 °C + 1) |
| (0,00002583/°C - 0,000182/°C)·100 °C |
| V2c = | -1,5 cm³·(0,002583 + 1) |
| -0,00015617/°C·100 °C |
| V2c = | 1,5 cm³·1,002583 |
| 0,015617 |
| V2c = | 1,5038745 cm³ |
| 0,015617 |
V2c = 96,2972722 cm³
Hallamos el volumen final del frasco de vidrio. Ahora calcularemos el volumen inicial del frasco de vidrio con la ecuación (3):
| V₁ = | V2c |
| 3·α·Δt° + 1 |
| V₁ = | 96,2972722 cm³ |
| 3·0,00000861/°C·(100 °C - 0 °C) + 1 |
| V₁ = | 00000861 cm³ |
| 0,00002583/°C·100 °C + 1 |
| V₁ = | 96,2972722 cm³ |
| 0,002583 + 1 |
| V₁ = | 96,2972722 cm³ |
| 1,002583 |
V₁ = 96,04917718 cm³
Resultado, el volumen del frasco de vidrio es:
V₁ = 96 cm³
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, ¿cuánto aumenta el volumen del mercurio al calentarlo dentro de un recipiente de vidrio?