Problema nº 4 de coeficiente de dilatación volumétrico - TP02
Enunciado del ejercicio nº 4
Un cubo de hierro (α = 0,000012/°C) lleno de mercurio (γ = 0,000182/°C) es calentado de 20 °C a 70 °C. Si se derraman 2,7 cm³ de mercurio, ¿cuál es el volumen del cubo?
Desarrollo
Datos:
t₁ = 20 °C
t₂ = 70 °C
V = 2,7 cm³ (volumen excedente de mercurio)
α = 0,000012/°C
γ = 0,000182/°C
Fórmulas:
ΔVc = 3·α·V1c·Δt° (dilatación volumétrica del cubo de hierro)
ΔVₘ = γ·V₁ₘ·Δt° (dilatación volumétrica del mercurio)
Solución
Se asume que con 20 °C el volumen de mercurio se encuentra enrasado con el borde del recipiente de hierro, es decir el mismo volumen inicial para ambos:
V₁ₘ = V1c = V₁
Y:
V₂ₘ - V2c = 2,7 cm³ (1)
Entonces:
ΔVₘ = γ·V₁ₘ·Δt°
V₂ₘ - V₁ₘ = γ·V₁ₘ·Δt°
V₂ₘ - V₁ = γ·V₁·Δt°
ΔVc = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V1c = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V₁ = 3·α·V₁·Δt°
Despejamos V₁ en ambas ecuaciones:
V₂ₘ - V₁ = γ·V₁·Δt°
V₂ₘ = γ·V₁·Δt° + V₁
V₂ₘ = (γ·Δt° + 1)·V₁
V₂ₘ/(γ·Δt° + 1) = V₁ (3)
V2c - V₁ = 3·α·V₁·Δt°
V2c = 3·α·V₁·Δt° + V₁
V2c = (3·α·Δt° + 1)·V₁
V2c/(3·α·Δt° + 1) = V₁ (4)
Igualamos las ecuaciones (3) y (4):
| V₂ₘ | = | V2c |
| γ·Δt° + 1 | 3·α·Δt° + 1 |
V₂ₘ·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1) (2)
De la ecuación (1) despejamos V₂ₘ:
V₂ₘ = V2c + 2,7 cm³
Reemplazamos V₂ₘ en la ecuación (2):
(V2c + 2,7 cm³)·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1) (2)
A continuación despejamos V2c:
V2c·(3·α·Δt° + 1) + 2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° + 1) - V2c·(γ·Δt° + 1) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·[(3·α·Δt° + 1) - (γ·Δt° + 1)] = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° + 1 - γ·Δt° + 1) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° - γ·Δt°) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·(3·α - γ)·Δt° = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
| V2c = | -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1) |
| (3·α - γ)·Δt° |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| V2c = | -2,7 cm³·[3·0,000012/°C·(70 °C - 20 °C) + 1] |
| (3·0,000012/°C - 0,000182/°C)·(70 °C - 20 °C) |
| V2c = | -2,7 cm³·(0,000036/°C·50 °C + 1) |
| (0,000036/°C - 0,000182/°C)·50 °C |
| V2c = | -2,7 cm³·(0,0018 + 1) |
| -0,000146/°C·50 °C |
| V2c = | 2,7 cm³·1,0018 |
| 0,0073 |
| V2c = | 2,70486 cm³ |
| 0,0073 |
V2c = 370,529 cm³
Hallamos el volumen final del cubo de hierro. Ahora calcularemos el volumen inicial del cubo de hierro con la ecuación (3):
| V₁ = | V2c |
| 3·α·Δt° + 1 |
| V₁ = | 370,529 cm³ |
| 3·0,000012/°C·(70 °C - 20 °C) + 1 |
| V₁ = | 370,529 cm³ |
| 0,000036/°C·50 °C + 1 |
| V₁ = | 370,529 cm³ |
| 0,0018 + 1 |
| V₁ = | 370,529 cm³ |
| 1,0018 |
Resultado, el volumen del cubo de hierro es:
V₁ = 369,863 cm³
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular el coeficiente de dilatación volumétrico. ¿Cuánto aumenta el volumen del mercurio al calentarlo?