Problema nº 4 de variación de volumen ocasionada por la dilatación - TP04
Enunciado del ejercicio nº 4
Un cubo de hierro se llena con mercurio y se lo calienta desde 25 °C hasta 82 °C. Si se derraman 2,8 cm³ de Hg, ¿cuál es el volumen del cubo? (βHg = 0,000182/°C, αFe = 0,0000118/°C)
Desarrollo
Datos:
t₁ = 25 °C
t₂ = 82 °C
V = 2,8 cm³ (volumen excedente de mercurio)
α = 0,0000118/°C
β = 0,000182/°C
Fórmulas:
ΔVc = 3·α·V1c·Δt° (dilatación volumétrica del cubo de hierro)
ΔVₘ = β·V₁ₘ·Δt° (dilatación volumétrica del mercurio)
Solución
Se asume que con 25 °C el volumen de mercurio se encuentra enrasado con el borde del recipiente de hierro, es decir el mismo volumen inicial para ambos:
V₁ₘ = V1c = V₁
Y:
V₂ₘ - V2c = 2,8 cm³ (1)
Entonces:
ΔVₘ = β·V₁ₘ·Δt°
V₂ₘ - V₁ₘ = β·V₁ₘ·Δt°
V₂ₘ - V₁ = β·V₁·Δt°
ΔVc = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V1c = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V₁ = 3·α·V₁·Δt°
Despejamos V₁ en ambas ecuaciones:
V₂ₘ - V₁ = β·V₁·Δt°
V₂ₘ = β·V₁·Δt° + V₁
V₂ₘ = (β·Δt° + 1)·V₁
V₂ₘ/(β·Δt° + 1) = V₁ (3)
V2c - V₁ = 3·α·V₁·Δt°
V2c = 3·α·V₁·Δt° + V₁
V2c = (3·α·Δt° + 1)·V₁
V2c/(3·α·Δt° + 1) = V₁ (4)
Igualamos las ecuaciones (3) y (4):
| V₂ₘ | = | V2c |
| β·Δt° + 1 | 3·α·Δt° + 1 |
V₂ₘ·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(β·Δt° + 1) (2)
De la ecuación (1) despejamos V₂ₘ:
V₂ₘ = V2c + 2,8 cm³
Reemplazamos V₂ₘ en la ecuación (2):
(V2c + 2,8 cm³)·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(β·Δt° + 1) (2)
A continuación despejamos V2c:
V2c·(3·α·Δt° + 1) + 2,8 cm³·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(β·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° + 1) - V2c·(β·Δt° + 1) = -2,8 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·[(3·α·Δt° + 1) - (β·Δt° + 1)] = -2,8 cm³·(3·α·Δt° + 1)
| V2c = | -2,8 cm³·(3·α·Δt° + 1) |
| (3·α·Δt° + 1) - (β·Δt° + 1) |
| V2c = | -2,8 cm³·(3·α·Δt° + 1) |
| 3·α·Δt° + 1 - β·Δt° - 1 |
| V2c = | -2,8 cm³·(3·α·Δt° + 1) |
| 3·α·Δt° - β·Δt° |
| V2c = | -2,8 cm³·(3·α·Δt° + 1) |
| (3·α - β)·Δt° |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| V2c = | -2,8 cm³·[3·(0,0000118/°C)·(82 °C - 25 °C) + 1] |
| [3·(0,0000118/°C) - (0,000182/°C)]·(82 °C - 25 °C) |
| V2c = | -2,8 cm³·[(0,0000354/°C)·57 °C + 1] |
| (0,0000354/°C - 0,000182/°C)·57 °C |
| V2c = | -2,8 cm³·(0,0020178 + 1) |
| (-0,0001466/°C)·57 °C |
| V2c = | -2,8 cm³·1,0020178 |
| -0,0083562 |
| V2c = | 2,80564984 cm³ |
| 0,0083562 |
V2c = 335,757 cm³
Hallamos el volumen final del cubo de hierro. Ahora calcularemos el volumen inicial del cubo de hierro con la ecuación (3):
| V₁ = | V2c |
| 3·α·Δt° + 1 |
| V₁ = | 335,757 cm³ |
| 3·(0,0000118/°C)·(82 °C - 25 °C) + 1 |
| V₁ = | 335,757 cm³ |
| 0,0020178 + 1 |
| V₁ = | 335,757 cm³ |
| 1,0020178 |
Resultado, el volumen del cubo de hierro es:
V₁ = 335,081 cm³
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular la variación de volumen ocasionada por la dilatación