Problema nº 6 de potencia y energía, altura máxima - TP09
Enunciado del ejercicio nº 6
Un automóvil de 200 HP y 1.500 kg, parte del reposo y a los 20 metros se encuentra con una pendiente. Calcular a qué altura llega si al entrar en la pendiente se apaga el motor.
Desarrollo
Datos:
W = 200 HP
m = 1.500 kg
v₁ = 0 m/s
d = 20 m
g = 9,80665 m/s²
Fórmulas:
v₂² = v₁² + 2·a·Δx
x₂ = x₁ + v₁·t + ½·a·t²
ΔEM = ΔEc + ΔEₚ
Ec = ½·m·v²
Solución
El movimiento se divide en dos etapas, la primera inicia la marcha hasta alcanzar la velocidad v₂ conque iniciará el ascenso a la pendiente, la segunda etapa es la subida por la pendiente.
Para el primer tramo del recorrido aplicamos, de cinemática, la ecuación combinada para hallar la aceleración:
v₂² = v₁² + 2·a·Δx
v₁ = 0 m/s
v₂² = 2·a·Δx
Δx = x₂ - x₁
h₁ = 0
Δx = x₂ = d
v₂² = 2·a·d (1)
Luego, aplicamos de cinemática la ecuación horaria de posición:
x₂ = x₁ + v₁·t + ½·a·t²
Ya vimos que:
v₁ = 0 m/s; h₁ = 0 y x₂ = d
d = ½·a·t²
Despejamos t:
(2)
Donde t es el tiempo que demora en recorrer los 20 metros.
La velocidad v₂ es la velocidad luego de recorrer los 20 metros y a su vez es la velocidad inicial al llegar a la pendiente.
Para alcanzar dicha velocidad, el automóvil posee una potencia de 200 HP, que se expresa:
Desarrollamos esta expresión:
Despejamos t:
Reemplazamos en (2):
W² = ½·m²·a³·d (3)
Despejamos a de (1):
v₂² = 2·a·d
Reemplazamos en (3):
Aplicamos raíz cuadrada en ambos términos:
De donde:
(4)
Para la segunda etapa aplicamos la ecuación de la energía mecánica:
ΔEM = ΔEc + ΔEₚ
Las fuerzas son conservativas:
0 = ΔEc + ΔEₚ
ΔEc = ΔEₚ
Al detenerse el motor toda la energía cinética se transformará en energía potencial hasta que se detenga el automóvil en la altura máxima h₃:
Eₚ₃ = Ec2
m·g·h₃ = ½·m·v₂²
Cancelamos las masas:
g·h₃ = ½·v₂²
Despejamos h₃:
Reemplazamos v₂ de la (4):
Convertimos las unidades:
W = 149.140 W
Reemplazamos por los valores y calculamos:
h₃ = 20,31629794 m
Resultado, la altura máxima es:
h₃ = 20,32 m
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular la altura máxima