Problema nº 6 de potencia y energía, altura máxima - TP09
Enunciado del ejercicio nº 6
Un automóvil de 200 HP y 1.500 kg, parte del reposo y a los 20 metros se encuentra con una pendiente. Calcular a qué altura llega si al entrar en la pendiente se apaga el motor.
Desarrollo
Datos:
W = 200 HP
m = 1.500 kg
v₁ = 0 m/s
d = 20 m
g = 9,80665 m/s²
Fórmulas:
v₂² = v₁² + 2·a·Δx
x₂ = x₁ + v₁·t + ½·a·t²
ΔEM = ΔEc + ΔEₚ
| W = | L |
| t |
Ec = ½·m·v²
Solución
El movimiento se divide en dos etapas, la primera inicia la marcha hasta alcanzar la velocidad v₂ conque iniciará el ascenso a la pendiente, la segunda etapa es la subida por la pendiente.
Para el primer tramo del recorrido aplicamos, de cinemática, la ecuación combinada para hallar la aceleración:
v₂² = v₁² + 2·a·Δx
v₁ = 0 m/s
v₂² = 2·a·Δx
Δx = x₂ - x₁
h₁ = 0
Δx = x₂ = d
v₂² = 2·a·d (1)
Luego, aplicamos de cinemática la ecuación horaria de posición:
x₂ = x₁ + v₁·t + ½·a·t²
Ya vimos que:
v₁ = 0 m/s; h₁ = 0 y x₂ = d
d = ½·a·t²
Despejamos t:
| t² = | 2·d | (2) |
| a |
Donde t es el tiempo que demora en recorrer los 20 metros.
La velocidad v₂ es la velocidad luego de recorrer los 20 metros y a su vez es la velocidad inicial al llegar a la pendiente.
Para alcanzar dicha velocidad, el automóvil posee una potencia de 200 HP, que se expresa:
| W = | L |
| t |
Desarrollamos esta expresión:
| W = | F·d |
| t |
| W = | m·a·d |
| t |
Despejamos t:
| t = | m·a·d |
| W |
Reemplazamos en (2):
| (m·a·d)² | = | 2·d |
| W² | a |
| m²·a²·d² | = | 2·d |
| W² | a |
| m²·a²·d | = | 2 |
| W² | a |
W² = ½·m²·a³·d (3)
Despejamos a de (1):
v₂² = 2·a·d
| a = | v₂² |
| 2·d |
Reemplazamos en (3):
| W² = ½·m²·d·( | v₂² | )³ |
| 2·d |
| W² = m²·d· | v₂⁶ |
| 2·2³·d³ |
| W² = | m²·v₂⁶ |
| 4²·d² |
Aplicamos raíz cuadrada en ambos términos:
| W = | m·v₂³ |
| 4·d |
De donde:
| v₂³ = | 4·W·d | (4) |
| m |
Para la segunda etapa aplicamos la ecuación de la energía mecánica:
ΔEM = ΔEc + ΔEₚ
Las fuerzas son conservativas:
0 = ΔEc + ΔEₚ
ΔEc = ΔEₚ
Al detenerse el motor toda la energía cinética se transformará en energía potencial hasta que se detenga el automóvil en la altura máxima h₃:
Eₚ₃ = Ec2
m·g·h₃ = ½·m·v₂²
Cancelamos las masas:
g·h₃ = ½·v₂²
Despejamos h₃:
| h₃ = | ½·v₂² |
| g |
| h₃ = | 1 | ·v₂² |
| 2·g |
Reemplazamos v₂ de la (4):
| h₃ = | 1 | ·( | 4·W·d | )⅔ |
| 2·g | m |
Adecuamos las unidades:
| W = 200 HP· | 745,7 W |
| 1 HP |
W = 149.140 W
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| h₃ = | 1 | ·( | 4·149.140 W·20 m | )⅔ |
| 2·9,80665 m/s² | 1.500 kg |
| h₃ = | 1 | ·( | 11.931.200 W·m | )⅔ |
| 19,6133 m/s² | 1.500 kg |
| h₃ = | 1 | ·( | 11.931.200 kg·m·m·m | )⅔ |
| 19,6133 m/s² | 1.500 kg·s·s² |
| h₃ = | 1 | ·( | 11.931.200 m³ | )⅔ |
| 19,6133 m/s² | 1.500 s³ |
| h₃ = | 1 | · | 11.931.200⅔ m3·⅔ |
| 19,6133 m/s² | 1.500⅔ s3·⅔ |
| h₃ = | 1 s² | · | 52.214,29484 m² |
| 19,6133 m | 131,0370697 s² |
| h₃ = | 52.214,29484 m |
| 2.570,069359 |
h₃ = 20,31629794 m
Resultado, la altura máxima es:
h₃ = 20,32 m
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular la altura máxima