Recopilación del concepto de número (Segunda parte)

Construcción de los números enteros (Z) a partir de los N

Se trata de construirlos formalmente, pero firmemente anclada la construcción en los problemas de la vida diaria que exigen la existencia de estos nuevos números.

Supongamos que tenemos el siguiente estado de cuenta:

Datos planteados
HaberDebe
7
9
23		4
3
1

Los números naturales sirven para escribir el haber y el debe, pero no alcanzan a escribir el haber menos el debe, sólo cuando el deber es menor o igual al haber. Entonces a partir de (N, +, ·, <) creamos una nueva herramienta para expresar el saldo, sin perder nada (sólo ganar).

Consideramos el conjunto N×N de pares ordenados de números naturales.

Definimos en N×N la relación:

(a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c

Queríamos decir a - b = c - d, pero no podemos decir esto porque no siempre se puede restar en N, así que lo que decimos es aquella que es equivalente.

Con lo que sabemos de N vemos inmediatamente que eso es una relación de equivalencia en N×N: es reflexiva ∀ (a, b) ∈ N×N (a, b) ~ (a, b) porque a + b = b + a; es simétrica (a, b) ~ (c, d) ⇒ (c, d) ~ (a, b) porque c + d = b + c ⇒ c + b = d + a; y es transitiva (a, b) ~ (c, d), (c, d) ~ (e, f) ⇒ (a, b) ~ (e, f) porque a + d = b + c, c + f = d + e ⇒ a + d + c + f = b + c + d + e ⇒ a + f = b + e

Por tanto ~ induce una clasificación, por definición el conjunto de números enteros:

Z = N×N / ~

Un número entero es lo que tienen en común todos los balances con el mismo saldo (tienen en común el saldo):

(0, 4)] = [(2, 6)] = [(1, 5)] =

Vamos a ver que podemos dotar a Z de una estructura algebraica - topológica análoga a la que tenía N pero con una propiedad importante más, la estructura anterior además se sumergirá en ésta. Es decir, ocurrirá que hay una aplicación inyectiva de N en Z que:

• Definición de adición, multiplicación y orden en Z:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]

[(a, b)]·[(c, d)] = [(a·c + b·d, a·d + b·c)] [el "truco" (a - b)·(c - d) = a·c + b·d - (a·d + b·c)]

[(a, b)] < [(c, d)]: ⇔ a + d < b + c

Lo primero que hay que ver es que esas definiciones no dependen de los representantes utilizados para darlas. Es decir que:

(a, b) ~ (a', b') |

(c, d) ~ (c', d')| ⇒ (a + c, b + d) ~ (a' + c', b' + d')

Y esto es cierto porque:

a + b' = b + a' |

c + d' = d + c' | ⇒ a + c + b' + d' = b + d + a' + c'

Para el caso de la multiplicación:

(a, b) ~ (a', b') |

(c, d) ~ (c', d') | ⇒ (a·c + b·d, a·d + b·c) ~ (a'·c' + b'·d', a'·d' + b'·c')

Y esto es porque:

a - b = a' - b' |

c - d = c' - d' | ⇒ a·c - a·d - b·c + b·d = a'·c' - a'·d' - b'·c' + b'·d' ⇒ a·c + b·d + a'·d' + b'·c' =

= a'·c' + b'·d' + a·d + b·c

Para el orden:

(a, b) < (a', b') |

(c, d) < (c', d') | ⇒ a + b' + c + d' < b + a' + d + c'

Esto es porque:

a + b' < b + a' |

c + d' < d + c' | ⇒ a + c + b' + d' < b + d + a' + c'

Lo segundo que estas definiciones extienden a las de N, es decir, aquello que antes escribíamos i·(a + b) = i·(a) + i·(b) donde i: a ∈ N ⟶ [(a, 0)] ∈ Z

En efecto: ∀ a, b ∈ N

i·(a + b) = [(a + b, 0)]

i·(a) = [(a, 0)]

i·(b) = [(b, 0)]

i·(a·b) = [(a·b, 0)]

i·(a) = [(a, 0)]

i·(b) = [(b, 0)]

i·(a < b) = a < b

i·(a) = [(a, 0)]

i·(b) = [(b, 0)]

Lo tercero, es ver las propiedades +, ·, < y ver que tenemos las siguientes propiedades:

• La adición en Z es asociativa:

▫ [(a, b)] + {[(c, d)] + [(e, f)]} ⇒ [(a, b)] + [(c + e, d + f)] ⇒ [(a + (c + e), b + (d + f))] ⇒ [((a + c) + e, (b + d) + f)] ⇒

▫ ⇒ [(a + c, b + d)] + [(e, f)] ⇒ {[(a, b)] + [(c, d)]} + [(e, f)]

• La adición en Z es conmutativa:

▫ [(a, b)] + [(c, d)] ⇒ [(a + c, b + d)] ⇒ [(c + a, d + b)] ⇒ [(c, d)] + [(a, b)]

• La adición en Z tiene elemento neutro:

▫ [(a, b)] + [(0, 0)] ⇒ [(a, b)]

• La multiplicación en Z es asociativa:

▫ [(a, b)]·{[(c, d)]·[(e, f)]} ⇒ [(a, b)]·[(c·e + d·f, c·f + d·e)] ⇒ [(a·c·e + a·d·f + b·c·f + b·d·e, a·c·f + a·d·e + b·c·e + b·d·f)]

▫ [((a·c + b·d)·e + (a·d + b·c)·f, (a·d + b·c)·e + (a·c + b·d)·f))] ⇒ [(a·c + b·d, a·d + b·c)]·[(e, f)] ⇒

▫ {[(a, b)]·[(c, d)]}·[(e, f)]

• La multiplicación en Z es conmutativa:

▫ [(a, b)]·[(c, d)] ⇒ [(a·c + b·d, a·d + b·c)] ⇒ [(c·a + d·b, d·a + c·b)] ⇒ [(c, d)] + [(a, b)]

• La multiplicación en Z tiene elemento unidad:

▫ [(a, b)]·[(1, 0)] ⇒ [(a, b)]

• Los números Z tienen la propiedad distributiva:

▫ [(a, b)]·{[(c, d)] + [(e, f)]} ⇒ [(a, b)] [(c + e, d + f)] ⇒ [(a·c + a·e + b·d + b·f, a·d + a·f + b·c + b·e)] ⇒

▫ [(a·c + b·d, a·d + b·c)] + [(a·e + b·f, a·f + b·e)] ⇒ [(a, b)]·[(c, d)] + [(a, b)]·[(e, f)]

• Transitiva:

▫ [(a, b)] < [(c, d)], [(c, d)] < [(e, f)] ⇒ a + d < b + c, c + f < d + e ⇒

▫ a + d + c + f < b + c + d + e ⇒ a + f < b + e ⇒ [(a, b)] < [(e, f)]

• Antisimétrica:

▫ [(a, b)] < [(c, d)], [(c, d)] < [(a, b)] ⇒ a + d < b + c, c + b < d + a ⇒ (a, b)] = [(c, d)]

• Es Total:

▫ [(a, b)] ≠ [(c, d)] ⇒ a + d ≠ b + c ⇒ ó a + d < b + c ó b + c < a + d ⇒ ó [(a, b)] < [(c, d)] ó [(c, d)] < [(a, b)]

• Orden/adición:

▫ [(a, b)] < [(c, d)] ⇒ a + d < b + c

▫ [(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] ⇒ [(a + e, b + f)] < [(c + e, d + f)] ⇒

▫ a + e + d + f < b + f + c + e ⇒ a + d < b + c

• Orden/multiplicación:

▫ [(a, b)] < [(c, d)], [(1, 1)] < [(e, f)] ⇒ [(a, b)] [(e, f)] < [(c, d)] [(e, f)]

▫ [(a, b)] < [(c, d)], [(1, 1)] > [(e, f)] ⇒ [(a, b)] [(e, f)] > [(c, d)] [(e, f)]

• Existencia de opuesto:

▫ [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, b + a)] = [(1, 1)]

Con Z hemos conseguido A4 (existencia de opuesto) pero no M4 (existencia de inverso), es decir, ∀ [(a, b)] ≠ [(1, 1)] ∃ [(c, d)]:[(a, b)]·[(c, d)] = [(1, 0)]

Ni que decir tiene que los números Z no se escriben de aquella forma [(a, b)] sino [(3, 31)] = -28. Con lo cual Z = {……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ………}

Construcción a partir de Z de los números racionales (Q)

2ª extensión del concepto de número para sin perder nada de lo que tenemos, ganar M4 (existencia de inverso). Los nuevos números son lo racionales.

La no-existencia de inverso es equivalente a imposibilidad, en general, de dividir. La división de enteros sólo es factible cuando el dividendo es múltiplo del divisor. La sustracción de naturales sólo lo era cuando el minuendo es igual o mayor que el sustraendo. Ya hemos resuelto en Z este último problema, "restar" en Z es sumar el opuesto. Lo mismo que dividir en

Q es multiplicar por el inverso.

Para introducir Z nos fijábamos en la relación haber-deber. Para introducir Q nos fijaremos en repartos dividendo- divisor.

De la necesidad de una herramienta para expresar el saldo de un balance nacieron los enteros.

De la necesidad de una herramienta para expresar la ración de un reparto nacen los racionales.

Consideremos el conjunto Z×(Z - {0}) de pares ordenados de números enteros (el segundo distinto de 0), lo que se reparte entre a quien se reparte (tartas - niños).

Definimos en Z×(Z - {0}) la siguiente relación:

(a, b) ~ (c, d) ⇔ a·d = b·c

Con lo que sabemos de Z vemos inmediatamente que esto es una relación de equivalencia en Z×(Z - {0}): es reflexiva ∀ (a, b) ∈ Z×(Z - {0}) (a, b) ~ (a, b) porque a·b = b·a es simétrica (a, b) ~ (c, d) ⇒ (c, d) ~ (a, b) porque a·d = b·c ⇒ c·b = d·a; y es transitiva (a, b) ~ (c, d), (c, d) ~ (e, f) ⇒ (a, b) ~ (e, f) porque a·d = b·c, c·f = d·e ⇒ a·d·c·f = b·c·d·e ⇒ a·f = b·e

Por definición lo racionales Q = Z×(Z - {0})/ ~

Un número racional es lo que tienen en común todos los repartos con la misma ración (tener en común la ración).

{(1, 3), (2, 6), (3, 5), (-1, -3), (-2, -6), …} = [(1, 3)] = [(-2, -6)]

El conjunto Z se sumerge en Q de la siguiente forma: a ∈ Z ⟶ [(a, 1)] ∈ Q

No solo el conjunto Z se sumerge en Q sino que la estructura se sumerge en una nueva estructura más rica (Q, +, ·, <). Es decir una vez definamos en Q, +, ·, < se verificará:

i·(a + b) = i·(a) + i·(b)

i·(a·b) = i·(a)·i·(b)

a < b = i·(a) < i·(b)

Definamos la adición, multiplicación y orden en Q:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(a·d + b·c, b·d)]

[(a, b)]·[(c, d)] = [(a·c, b·d)]

[(a, b)] < [(c, d)] = a·d < b·c

Damos por bien conocida su estructura (Q, +, ·, <) que acabamos de construir a partir de la (Z, +, ·, <).

Es decir suponemos sabido lo siguiente:

Que la adición en Q tiene las propiedades:

A1 Asociativa:

[(a, b)] + {[(c, d)] + [(e, f)]} ⇒ [(a, b)] + [(c·f + d·e, d·f)] ⇒

⇒ [(a·d·f + b·c·f + b·d·e, b·d·f))] ⇒ [(a·d + b·c, b·d)] + [(e, f)] ⇒ {[(a, b)] + [(c, b)]} + [(e, f)]

A2 Conmutativa:

[(a, b)] + [(c, d)] ⇒ [(a·d + b·c, b·d)] ⇒ [(d·a + c·b, d·b)] ⇒ [(c, d)] + [(a, b)]

A3 Existe elemento neutro:

[(a, b)] + [(0, 1)] ⇒ [(a, b)]

A4 Existe opuesto:

[(a, b)] + [(-a, b)] = [(a, b)] + [(a, -b)] = [(0, b)]

Que la multiplicación en Q tiene las propiedades:

M1 Asociativa:

[(a, b)]·{[(c, d)]·[(e, f)]} ⇒ [(a, b)]·[(c·e, d·f)] ⇒ [(a·c·e, b·d·f)] ⇒ [(a·c, b·d)]·[(e, f)] ⇒ {[(a, b)]·[(c, d)]}·[(e, f)]

M2 Conmutativa:

[(a, b)]·[(c, d)] ⇒ [(a·c, b·d)] ⇒ [(c·a, d·b)] ⇒ [(c, d)]·[(a, b)]

M3 Existe elemento unidad:

[(a, b)]·[(1, 1)] ⇒ [(a, b)]

M4 Existe inverso:

[(a, b)]·[(a, b)]⁻¹ ⇒ [(a·a⁻¹, b·b⁻¹)] ⇒ [(1, 1)] (Ganancia respecto a Z)

Que el orden es:

O1 Transitivo:

[(a, b)] < [(c, d)], [(c, d)] < [(e, f)] ⇒ a·d < b·c, c·f < d·e ⇒ a·d·c·f < b·c·d·e ⇒ a·f < b·e ⇒ [(a, b)] < [(e, f)]

O2 Antisimétrico:

[(a, b)] < [(c, d)], [(c, d)] < [(a, b)] ⇒ a·d < b·c, c·b < d·a ⇒ [(a, b)] = [(c, d)]

O3 Es Total:

[(a, b)] ≠ [(c, d)] ⇒ a·d ≠ b·c ⇒ ó a·d < b·c ó b·c < ad ⇒ ó [(a, b)] < [(c, d)] ó [(c, d)] < [(a, b)]

AM Distributiva:

[(a, b)]·{[(c, d)] + [(e, f)]} ⇒ [(a, b)]·[(c·f + d·e, d·f)] ⇒ [(a·c·f + a·d·e, b·d·f)] ⇒ [(a, b)]·[(c, d)] + [(a, b)]·[(e, f)]

OA Orden/adición:

[(a, b)] < [(c, d)] ⇒ a·d < b·c

[(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] ⇒ [(a·f + b·e, b·f)] < [(c·f + d·e, d·f)]

⇒ (a·f + b·e)·d·f < b·f·(c·f + d·e) ⇒ a·f·d·f < b·f·c·f ⇒ a·d < b·c

OM Orden/multiplicación:

[(a, b)] < [(c, d)], [(0, 1)] < [(e, f)] ⇒ [(a, b)]·[(e, f)] < [(c, d)]·[(e, f)]

Una propiedad más que ya tenían las estructuras anteriores (naturales y enteros), pero que no merecía la pena citar entonces, la propiedad Arquimediana:

∀ [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q[(a, b)] < [(0, 1)] ∃ n ∈ N:[(c, d)] < n [(a, b)]

Dicho con palabras significa que cualquier número racional positivo sumado consigo mismo tantas veces como sea necesario, se "merienda" a cualquier número.

Por las propiedades A1, …, A4 (Q, +) es un grupo conmutativo o abeliano.

Por las propiedades A1, …, A4 M1, …, M4 y AM (Q, +, ·) es un cuerpo conmutativo.

Por las catorce propiedades primeras (Q, +, ·, <) es un cuerpo totalmente ordenado.

Por las 15 propiedades es un cuerpo arquimediano.

Sin embargo, el cuerpo (Q, +, ·, <) no es completo. (Q, +, ·, <) sirve para contar conjuntos finitos (contiene N), para hacer balances (contiene Z). Para expresar raciones de reparto, pero no sirve para medir (expresar el resultado de la medida).

Veamos un ejemplo, el conocido Teorema de Pitágoras. Consideramos un cuadrado de lado 1. No hay ningún número racional a/b que exprese la longitud de la diagonal. Si lo hubiera, sería (a/b)² = 1 + 1 = 2.

"Sabemos" que todo número racional se puede expresar mediante una fracción a/b, tal que a es primo con b, es decir a y b no tienen ningún divisor en común. Así pues tenemos lo siguiente:

a² = 2·b² ⇒ a² es par ⇒ a es par, a² es múltiplo de 4, es decir, a² = 4·c ⇒ 4·c = 2·b² ⇒

2·c = b² ⇒ b² es par ⇒ b es par Contradicción

Tampoco es racional la longitud de la circunferencia de diámetro 1 o el área del círculo de radio 1.

El problema más famoso de la matemática era saber qué número es Π. Los egipcios Π~ 3,14. A finales del siglo VXIII se probó que Πno es racional y a fines del XIX se probó que no es algebraico (no es raíz de ningún polinomio de cociente razonable). Es trascendente.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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