Propiedades de las funciones derivables

LEMA (de monotonía)

Sea x: I ⟶ ℜ una función. Supongamos que f'(t₀) > 0 en un punto t₀ interior. Entonces existe Δ > 0 tal que f(s) < f(t₀) < f(t) cuando s ∈ (t₀ - Δ, t₀) y t ∈ (t₀, t₀ + Δ), es decir, es creciente en t₀

Análogamente si f'(t₀) < 0, es decreciente en t₀

Teorema de Rolle

Sea x:[a, b] ⟶ ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f(a) = f(b) entonces existe c ε (a, b) tal que f'(c) = 0.

Teorema de Cauchy

Sean f:[a, b] ⟶ ℜ y g:[a, b] ⟶ ℜ continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que:

[f(b) - f(a)]·g'(c) = [g(b) - g(a)]·f'(c).

Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos)

Sea x:[a, b] ⟶ ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe c ε (a, b) tal que f(b) - f(a) = (b - a)·f'(c).

Consecuencias del teorema del valor medio

1) Teorema del valor medio sobre monotonía

▫ Sea x:[a, b] ⟶ ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces:

• Si f'(t) ≥ 0 para todo t ε (a, b) entonces f es monótona creciente en [a, b]
• Si f'(t) ≤ 0 para todo t ε (a, b) entonces f es monótona decreciente en [a, b]
• Si f'(t) = 0 para todo t ε (a, b) entonces f es constante en [a, b]

2) Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b) tales que f'(x) = g'(x) para todo x ∈ (a, b), entonces existe un número real c tal que f(x) = g(x) + c para todo x ∈ [a, b]; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante.

Estudio local de una función

Crecimiento y decrecimiento de una función

Definición:

Sea x:[a, b] ⟶ ℜ, x₀ ∈ (a, b), se dice que f es creciente en x₀ si existe un entorno de x₀, E(x₀, h) tal que:

Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente.

• Proposición 1 "monotonía":

Crecimiento y decrecimiento de una función

Sea x:(a, b) ⟶ ℜ una función derivable y x₀ ∈ (a, b). Entonces:

Si f'(x₀) > 0, f es creciente en x₀

Si f'(x₀) < 0, f es decreciente en x₀

Observación:

La condición es suficiente pero no es necesaria. Ejemplo: f(x) = x³

• Proposición 2:

Sea x:(a, b) ⟶ ℜ una función, x₀ ∈ (a, b), f derivable en x₀ y creciente (decreciente). Entonces f'(x₀) ≥ 0 (f'(x₀) ≤ 0).

Máximos y mínimos relativos

Condiciones para la determinación de extremos

Definición:

Sea f:[a, b] ⟶ ℜ, x₀ ∈ (a, b), se dice que f tiene un máximo/mínimo relativo en, x₀ si existe un entorno de x₀, E(x₀, h) tal que ∀ x ∈ E(x₀, h) se tiene que f(x) ≤ f(x₀)/f(x) ≥ f(x₀).

Condición necesaria

f derivable en x₀ ∈ (a, b) y presenta en x₀ un máximo o mínimo, entonces f'(x₀) = 0.

Condición suficiente

Máximo y mínimo de una función

• Proposición 1:

Sea x:[a, b] ⟶ ℜ contínua en I, x₀ ∈ (a, b) y f derivable en el intervalo (x₀-Δ, x₀ + Δ) contenido en I salvo quizás x₀

a)

Si f'(x) > 0, x ∈ (x₀ - Δ, x₀) (f creciente a la izquierda de x₀)

f'(x) < 0, x ∈ (x₀, x₀ + Δ) (f decreciente a la derecha de x₀)

Entonces f presente un máximo relativo en x₀

b)

Análogamente para mínimo relativo.

• Proposición 2:

f:[a, b] ⟶ ℜ, x₀ ∈ (a, b) tal que f'(x₀) = 0 y f"(x₀) ≠ 0.

Entonces:

f"(x₀) > 0 entonces x₀ es mínimo relativo.

f"(x₀) < 0 entonces x₀ es máximo relativo.

Condición necesaria y suficiente

Sea x:[a, b] ⟶ ℜ contínua en [a, b], x₀ ∈ (a, b) tal que f'(x₀) = 0.

Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x₀ y supongamos que la primera derivada que no se anula en x₀ es fⁿ(x₀), derivada n-ésima de f.

En estas condiciones:

"la condición necesaria y suficiente para que f presente en x₀ un máximo o mínimo relativo es que n sea par. Además si fⁿ (x₀) < 0 ( > 0) será un máximo (mínimo) relativo".

Además si n es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad

Definición:

Función cóncava: Una función f es cóncava en el punto x₀ cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x₀, f(x₀)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

Función convexa: Una función f es convexa en el punto x₀ cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x₀, f(x₀)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Condición suficiente de concavidad

Si una función f es tal que ∀ x ∈ (a, b) f"(x) > 0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a, b)

Si una función f es tal que ∀ x ∈ (a, b) f"(x) < 0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a, b)

Punto de inflexión

Gráfica con los casos de punto de inflexión de una función

Definición:

Un punto x₀ se dice de inflexión de f si la función en ese punto cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x₀, f(x₀)) la tangente atraviesa la gráfica.

Condición necesaria: Si x₀ es punto de inflexión entonces f"(x₀) = 0

Condición suficiente: Sea x₀/f"(x₀) = 0, entonces si además f‴(x₀) ≠ 0, x₀ es punto de inflexión.

Regla de L'Hospital

Sean f, g:[a, b] ⟶ ℜ dos funciones verificando:

i. f, g son derivables en (a, b)

ii. g'(x) ≠ 0 para todo x ∈ (a, b)

iii. Existe

iv. Entonces existe

Con este resultado se resuelven todos los casos de indeterminación del calculo de limites: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞, 1^∞, ∞° y 0°

Representación de funciones

Esquema a seguir en la representación de funciones

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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¿Qué son los valores máximos y mínimos de una función? ¿Qué es el incremento de la función?