Derivada de una función (Tercera parte)

Operaciones con funciones

Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

f:[a, b] ⟶ ℜ, g:[a, b] ⟶ ℜ se define

• Función suma de f y g como la nueva función f + g:[a, b] ——⟶ ℜ, (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• Función producto de f y g como la función f·g:[a, b] ——⟶ ℜ, (f·g)(x) = f(x)·g(x)
• Función cociente de f y g, (f/g):[a, b] ⟶ ℜ, (f/g)(x) = f(x)/g(x)

Siempre que g(x) ≠ 0 para todo x del intervalo.

Derivada de una suma de funciones

Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

Descomponiendo en suma de dos límites

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

Derivada de una diferencia de funciones

f - g = f + (-g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))'

Pero - g(x) = (- 1)·g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función:

[- g(x)]' = [(- 1)·g(x)]' = (- 1)·g'(x) = -g'(x)

En consecuencia,

[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

Ejemplos de cálculo de derivadas de diferencia de funciones

Ejemplo nº 1

Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x

Solución

f'(x) = 1 + sen x

Ejemplo nº 2

Calcular la derivada de f(x) = x³ - sen x + ln |x| en el punto x = -π/3.

Desarrollo

Datos:

f(x) = x³ - sen x + ln |x|

x = -π/3

Solución

Sustituyendo x por - π/3 se obtiene:

f'(-π/3) = π²/3 - ½ - 3/π

Derivada de un producto de funciones

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

[(f·g)(x + h) - (f·g)(x)]/h = [f(x + h)·g(x + h) - f(x)·g(x)]/h = (1)

Si se suma y se resta en el numerador f(x)·g(x + h), la fracción anterior no varía,

(1) = [f(x + h)·g(x + h) - f(x)·g(x + h) + f(x)·g(x + h) - f(x)·g(x)]/h = (2)

Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

(2) = {g(x + h)·[f(x + h) - f(x)] + f(x)·[g(x + h) - g(x)]}/h = g(x + h)·[f(x + h) - f(x)]/h + f(x)·[g(x + h) - g(x)]/h

Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,

Por tanto,

Ejemplos de cálculo de derivadas de producto de funciones

Ejemplo nº 1

Hallar la derivada de h(x) = x·ln x para cualquier x positivo.

Desarrollo

Datos:

h(x) = x·ln x

x > 0

Solución

[f(x)·g(x)]' = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1

Ejemplo nº 2

Calcular la derivada de h(x) = (x²/2)·sen x

Solución

h(x)' = ½·(2·x·sen x + x²·cos x)

Derivada de un cociente de funciones

Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

[f(x + h)/g(x + h) - f(x)/g(x)]/h =

= [f(x + h)·g(x) - f(x)·g(x + h)]/[g(x)·g(x + h)·h] =

= {1/[g(x)·g(x + h)]}·{[f(x + h)·g(x) - f(x)·g(x + h)]/h} (1)

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x)·g(x), se obtiene:

(1) = {1/[g(x)·g(x + h)]}·[f(x + h)·g(x) - f(x)·g(x) + f(x)·g(x) - f(x)·g(x + h)]/h = (2)

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

(2) = {1/[g(x)·g(x + h)]}·{g(x)·[f(x + h) - f(x)] - f(x)·[g(x + h) - g(x)]}/h

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

En definitiva,

Ejemplo de cálculo de derivadas de cociente de funciones

Ejemplo nº 1

Calcular la derivada de y = x⁻ᵐ = 1/xᵐ (m es un número natural)

Desarrollo

Datos:

y = x⁻ᵐ = 1/xᵐ

m ∈ N

Solución

y' = (0·xᵐ - 1·m·xᵐ ⁻ ¹)/(xᵐ)² = -m·(xᵐ ⁻ ¹)/(x²˙ᵐ) = -m·x^{m - 1 - 2·m} = -m·x⁻ᵐ ⁻ ¹

Derivada de la función tg x

Puesto que tg x = sen x/cos x,

Si f(x) = sen x, f'(x) = cos x

Si g(x) = cos x, g'(x) = -sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

(tg x)' = [cos x·cos x - sen x·(-sen x)]/cos² x = (cos² x + sen² x)/cos² x = cos² x/cos² x + sen² x/cos² x = 1 + tg² x

O bien, recordando la relación pitagórica sen² x + cos² x = 1,

(cos² x + sen² x)/cos² x = 1/cos² x = sec² x

Por tanto,

(tg x)' = 1 + tg² x = sec² x = 1/cos² x

Derivada de la función sec x

sec x = 1/cos x

Si f(x) = 1, f'(x) = 0

Si g(x) = cos x, g'(x) = -sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

(sec x)' = [0·cos x - 1·(-sen x)]/cos² x = sen x/cos² x = sec x·tg x

(sec x)' = sec x·tg x

Derivada de la función cosec x

cosec x = 1/sen x

Si f(x) = 1, f'(x) = 0

Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x

Por la derivada de un cociente,

(cosec x)' = (0·sen x - 1·cos x)/sen² x = -cos x/sen² x = -cosec x·cotg x

(cosec x)' = -cosec x·cotg x

Derivada de la función cotg x

cotg x = 1/tg x = cos x/sen x

Si f(x) = cos x, f'(x) = -sen x

Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x

(cotg x)' = [(-sen x)·sen x - cos x·cos x]/sen² x = (-sen² x - cos² x)/sen² x = -sen² x/sen² x - cos² x/sen² x = -1 - cotg² x

O haciendo uso de sen² x + cos² x = 1, (-sen² x - cos² x)/sen² x = -1/sen² x = -cosec² x

Por tanto, (cotg x)' = -(1 + cotg² x) = -cosec² x = -1/sen² x

Ejemplo de cálculo de la derivada de la función cotg x

Ejemplo nº 1

Calcular la derivada de h(x) = (x·cos x - 2)/x²

Solución

• Llamando f(x) = x·cos x - 2, f'(x) = 1·cos x + x·(-sen x) = cos x - x·sen x (la derivada de 2 es cero por ser una constante)
• Si g(x) = x², g'(x) = 2·x

h'(x) = [(cos x - x·sen x)·x² - (x·cos x - 2)·2·x]/x⁴ = (-x·cos x - x²·sen x + 4)/x³

Ejemplo nº 2

Hallar la derivada de h(x) = (x·tg x - cos x)/ln x

Solución

• Si f(x) = x·tg x - cos x, f'(x) = 1·tg x + x·(1 + tg² x) - (-sen x) = tg x + x·(1 + tg² x) + sen x
• Si g(x) = ln x ⟶ g'(x) = 1/x
  h'(x) = [(tg x + x + x·tg² x + sen x)·ln x - (x·tg x - cos x)·1/x]/ln² x

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como √x, para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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¿Cuál es la derivada de una función?