Derivada de una función (Cuarta parte)

Regla de la cadena

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I, f:l ⟶ ℜ, y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f, g:f(l) ⟶ ℜ, entonces la función compuesta g o f:l ⟶ f(l) ⟶ ℜ, definida por (g o f)(x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene:

(g o f)'(x) = g'[f(x)]·f'(x)

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena

Ejemplo nº 1

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x²

Solución

La función sen x² es una función compuesta de otras dos f(x) = x² y g(x) = sen x.

En efecto, (g o f)(x) = g[f(x)] = g(x²) = sen x²

Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x²

f(x) = x² ⇒ f'(x) = 2·x

Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)]·f'(x) = 2·x·cos x²

Ejemplo nº 2

Derivar la función h(x) = [(x² + 1)/x]³

Solución

h(x) es una función compuesta de f(x) = (x² + 1)/x y g(x) = x³

(Se ha de suponer que x ≠ 0 porque para este valor la función no está definida)

(g o f)(x) = g[f(x)] = g[(x² + 1)/x] = [(x² + 1)/x]³

De g(x) = x³, se deduce g'(x) = 3·x². En consecuencia,

g'[f(x)] = 3·f(x)² = 3·[(x² + 1)/x]²

Por otro lado,

f'(x) = [2·x·x - (x² + 1)·1]/x² = (2·x² - x² - 1)/x²

Por la regla de la cadena,

{[(x² + 1)/x]³}' = 3·[(x² + 1)/x]²·[(x² - 1)/x²]

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xᵐ es f'(x) = m·xᵐ ⁻ ¹

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)ᵐ

x ⟶ u(x) ⟶ u(x)ᵐ

Aplicando la regla de la cadena, será:

[u(x)ᵐ]' = m·u(x)ᵐ ⁻ ¹·u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

Si f(x) = uᵐ ⇒ f'(x) = (uᵐ)' = m·uᵐ ⁻ ¹·u'

Ejemplo de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para la función potencial

Ejemplo nº 1

Calcular la derivada de f(x) = (x² + 1)³

Solución

Si u = x² + 1, u' = 2·x

En este caso m = 3

f'(x) = 3·(x² + 1)²·2·x = 6·x·(x² + 1)²

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

(ln |u|)' = u'/u

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Ejemplo nº 1

Calcular la derivada de f(x) = ln [(x² + 1)·x²]

Solución

Se toma u = (x² + 1)/x²

Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

u' = [2·x·x² - (x² + 1)·2·x]/x⁴ = -2·x/x⁴ = -2/x³

Se aplica la regla de la cadena:

f'(x) = [ln (x² + 1)/x²]'

f'(x) = (-2/x³)÷[(x² + 1)/x²]

f'(x) = -(2·x²)÷[x³·(x² + 1)]

f'(x) = -2÷[x·(x² + 1)]

Ejemplo nº 2

Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x|

Solución

u = sen x; u' = cos x

f'(x) = (ln |sen x|)' = u'/u = cos x/sen x = cotg x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = a^u y para otra g(x) = e^u,

f'(x) = (a^u)' = u'·a^u ·ln a

g'(x) = (e^u)' = u'·e^u

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para la función exponencial

Ejemplo nº 1

Calcular la derivada de f(x) = 4^{x·sen x}

Solución

Llamando u = x·sen x, u' = 1·sen x + x·cos x

f'(x) = (4^{x·sen x})' = (sen x + x·cos x)·4^{x·sen x}·ln 4

Ejemplo nº 2

Calcular la derivada de g(x) = e⁻^x²

Solución

Si u = -x², u' = -2·x, g'(x) = (e⁻^x²)' = -2·x·e⁻^x²

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

x ⟶ u(x) ⟶ sen u(x)·(sen u)' = u'·cos u

x ⟶ u(x) ⟶ cos u(x)·(cos u)' = -u'·sen u

x ⟶ u(x) ⟶ tg u(x)·(tg u)' = (1 + tg² u)·u' = u'/cos² u = u'·sec² u

x ⟶ u(x) ⟶ sec u(x)·(sec u)' = u'·sec u·tg u

x ⟶ u(x) ⟶ cosec u(x)·(cosec u)' = -u'·cosec u·cotg u

x ⟶ u(x) ⟶ cotg u(x)·(cotg u)' = -u'·(1 + cotg² u) = -u'/sen² u

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para funciones trigonométricas

Ejemplo nº 1

Calcular la derivada de f(x) = sen (sen x)

Solución

Si u = sen x, u' = cos x

f'(x) = [sen (sen x)]' = u'·cos u = cos x·cos (sen x)

Ejemplo nº 2

Hallar la derivada de g(x) = sec (x² - 1)

Solución

u = x² - 1; u' = 2·x

g'(x) = [sec (x² - 1)]' = u'·sec u·tg u = 2·x·sec (x² - 1)·tg (x² - 1)

Ejemplo nº 3

Calcular la derivada de h(x) = sen³ x²

Solución

• Llamando u = sen x², hay que derivar sen³ x² = u³
• Por la regla de la cadena, la derivada de u³ es (u³)' = 3·u² ·u'

Llamando v = x²; u = sen v.

u' = v'·cos v = 2·x·cos x²

Finalmente, h'(x) = (sen³ x²)' = 3·u²·u' = 3·sen² x²·2·x·cos x² = 6·x·sen² x²·cos x²

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

Derivada de la función inversa

Si una función y = f(x) admite una función inversa f⁻¹ y la función f(x) es derivable en un punto x₀, entonces la función f⁻¹ es derivable en el punto f(x₀).

En virtud de este teorema, la función x^1/n es derivable por ser la función inversa de xⁿ:

x ⟶ xⁿ ⟶ (xⁿ)^1/n = x

Como consecuencia, al ser la función xᵐ derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la función x^m/n es derivable por ser composición de dos funciones derivables:

x ⟶ xᵐ ⟶ x^m/n

Derivada de la función x^1/n

Sea u = x^1/n; elevando a n, uⁿ = x.

Derivando ambos miembros se observa que:

Despejando u',

En particular, la derivada de la función f(x) = √x es (x^½)' = 1/(2·x^½) = 1/(2·√x)

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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