Construcción de curvas (primera parte)

Una función, por sí misma, no ofrece la información necesaria para dibujar su gráfica con un mínimo de exactitud.

La derivada va a ser la herramienta más potente a la hora de dar forma a la representación gráfica de una función. Ella determinará con toda fidelidad el crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de inflexión; conceptos que serán definidos en el desarrollo del tema.

Ante una función cualquiera f(x) puede averiguarse fácilmente, con un mínimo análisis, cuál es su dominio de definición (dónde está y dónde no está definida). Este conocimiento obliga, al representar la función en un sistema de ejes cartesianos, a centrar la atención en los puntos del eje de abscisas donde está definida.

El primer matemático del que se tenga constancia que representó gráficamente una función fue un profesor de la Universidad de París, Nicolas de Oresme (1.323 - 1.382), quien mediante un par de rectas perpendiculares dibujó la gráfica de un movimiento uniformemente acelerado, de forma similar a como se hace en nuestros días. No obstante, la mayor aportación que hizo Oresme a la matemática fue la definición de potencias de exponentes fraccionarios y operaciones con ellas.

La representación gráfica de una función aporta mucha más información que la simple definición de la función, por cuanto nos permite visualizar la variación de la variable dependiente, y, con respecto a la variable independiente, x; es decir, cuándo la función es creciente o decreciente, cuándo se alcanza el punto máximo o el mínimo, entre otros muchos aspectos.

Aunque la palabra curva puede tener varios significados, en lo que sigue, se debe entender como la representación gráfica de una función en un sistema de ejes cartesianos, es decir, la representación de todos los puntos de la forma (x, f(x)). Como, en general, este conjunto de puntos es infinito, no se podrán señalizar uno a uno, por lo que habrá que conformarse con una aproximación que, por otro lado, será tanto mejor cuanta más información se tenga del comportamiento de la curva, que podrá ser muy variable. Por esto es necesario distinguir y analizar los distintos casos que se pueden presentar.

Funciones crecientes y decrecientes

Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁ y x₂, con la condición x₁ ≤ x₂, se verifica que

f(x₁) < f(x₂).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

Una función es decreciente en un intervalo [a, b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁ y x₂, que cumplan x₁ ≤ x₂, entonces f(x₁) ≥ f(x₂).

Siempre que de x₁ < x₂ se deduzca f(x₁) > f(x₂), la función se dice estrictamente decreciente.

Función creciente y decreciente en punto

Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

(a - ε, a + ε), ε > 0, cumpliéndose:

f(x) ≤ f(a) si x pertenece a (a - ε, a) y

f(x) ≥ f(a) si x pertenece a (a, a + ε).

Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - ε, a + ε) en el que

f(x) ≥ f(a) si x pertenece a (a - ε, a) y

f(x) ≤ f(a) si x pertenece a (a, a + ε).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo ≤ por < y el ≥ por el > .

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo de estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

Ejemplo nº 1

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x² en los puntos

½, -1 y 0

Desarrollo

Datos:

y = x²

x₁ = ½

x₂ = -1

x₃ = 0

Solución

La función y = x² es estrictamente creciente en el intervalo [0, +∞) puesto que si

x₁ < x₂, x₁² < x₂²

Es estrictamente creciente en x = ½.

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-∞, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x₃ < x₄ ⇒ x₃² > x₄² (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)² > (-3)²). Es estrictamente decreciente en x = 0.

Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

Máximos y mínimos de una función

Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a - ε, a + ε) en el que f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a - ε, a + ε). El máximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva.

La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b - δ, b + δ) en el que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente a (b - δ, b + δ). El mínimo es entonces el punto (b, f(b)) de la curva.

A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos.

Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo.

Consecuencias

1- La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados.

En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0°) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo.

2- De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0.

No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro.

Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da.

Así, en el punto (a, f(a)) hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f'(a).

Ejemplo de determinación de posibles puntos extremos

Ejemplo nº 1

¿Qué puntos de la función f(x) = 2·x² - 3 pueden ser extremos relativos?

Solución

Los posibles extremos relativos de la función f(x) = 2·x² - 3 se obtienen al resolver la ecuación

f'(x) = 2·2·x = 0, de donde necesariamente x = 0

Aún así no se puede asegurar si en este punto hay máximo, mínimo o ni lo uno ni lo otro. Desde luego, si hay extremo relativo éste se encuentra en el punto de abscisa x = 0 que corresponde al punto (0, -3).

Propiedades de las funciones derivables

Primera propiedad

Si una función f(x) tiene derivada positiva en un punto a, la función es estrictamente creciente en ese punto.

• Demostración:

para h suficientemente pequeño.

Si h > 0, forzosamente f(a + h) - f(a) > 0, o lo que es lo mismo, f(a + h) > f(a).

Si h < 0, f(a + h) - f(a) < 0, de donde f(a + h) < f(a), lo que prueba que la función es creciente en el punto a.

Segunda propiedad

Si una función f(x) tiene derivada negativa en un punto a, la función es estrictamente decreciente en ese punto.

• Demostración:

Se razona de forma análoga al caso anterior. Para un h suficientemente pequeño, el cociente

[f(a + h) - f(a)]/h es negativo, con lo que f(a + h) - f(a) < 0 parah > 0 ⟶ f(a + h) < f(a) parah > 0, y

f(a + h) - f(a) > 0 parah < 0 ⟶ f(a + h) > f(a) parah < 0

Todo esto prueba que la función f(x) es estrictamente decreciente en a.

Ejemplo de estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

Ejemplo nº 1

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = f(x) = 2·x³ - 5·x² en los puntos de abscisa 1 y 2.

Solución

Se deriva f(x): f'(x) = 6·x² - 10·x

f'(1) = 6·1² - 10·1 = 6 - 10 = -4 < 0

La función es estrictamente decreciente en x = 1

f'(2) = 6·2² - 10·2 = 24 - 20 = 4 > 0

La función es estrictamente creciente en x = 2

Tercera propiedad

Si una función tiene un máximo o un mínimo relativo en un punto a y existe f'(a), necesariamente f'(a) = 0.

• Demostración:

Si f'(a) fuese positivo, la función sería estrictamente creciente en a, cosa que no puede ocurrir al haber en a un extremo.

Si f'(a) fuese negativo, la función sería estrictamente decreciente en a, lo que contradice el hecho de existir a en un extremo.

En consecuencia, si existe f'(a), ha de ser f'(a) = 0.

Así pues, queda confirmado que los extremos de una función hay que buscarlos entre los valores que resuelvan la ecuación f'(x) = 0. Sin embargo, una función puede tener derivada nula en un punto y no poseer extremo relativo en ese punto.

Ejemplo de estudio de los puntos en los que la derivada de una función se anula

Ejemplo nº 1

¿En qué puntos se anula la derivada de la función f(x) = x³? ¿Son extremos relativos?

Solución

f(x) = x³ ⟶ f'(x) = 3·x²

f'(x) = 3·x² = 0 ⇒ x = 0, y = 0

En el punto (0, 0) no hay extremo relativo como fácilmente se observa en la gráfica.

Cuarta propiedad

Si f(x) es una función contínua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el abierto (a, b) con derivada cero en todos los puntos de [a, b], entonces la función es constante.

Sin que esto pueda considerarse como una demostración rigurosa, obsérvese que si la derivada es cero en todos los puntos, esto significa que en cada punto de la curva, la tangente es paralela al eje X, lo cual quiere decir que la gráfica de la función es una recta paralela al eje de abscisas.

La función es de la forma f(x) = C = constante

Quinta propiedad

Si dos funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo cerrado [a, b] y tienen la misma derivada en todos los puntos del intervalo abierto (a, b), las funciones f(x) y g(x) se diferencian en una constante.

• Demostración:

Se considera la nueva función h(x) = f(x) - g(x).

Derivando, h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0, puesto que f'(x) = g'(x).

Por la propiedad anterior, h(x) = f(x) - g(x) = C = constante

Derivadas sucesivas de una función

Hasta ahora se sabe que los candidatos a extremos proceden de las soluciones de la ecuación f'(x) = 0. Falta por determinar cuándo una de estas soluciones es un máximo, un mínimo o no es un extremo. Previamente se necesita dominar un nuevo concepto.

Definición:

Dada una función f(x), se sabe calcular su derivada f'(x) (derivada primera).

Si ahora se vuelve a derivar f'(x), se obtiene la derivada segunda y se simboliza por f"(x). Si se vuelve a derivar esta función se tiene la derivada tercera, f‴(x), y así sucesivamente.

En general, la derivada de orden n de una función f(x), se llama derivada n-ésima y se simboliza por fⁿ'(x).

Ejemplo de cálculo de derivadas sucesivas de una función

Ejemplo nº 1

Calcular la derivada tercera de la función f(x) = 6·x³ - 7·x² + 5.

Solución

f'(x) = 18·x² - 14·x

f"(x) = 36·x - 14

f‴(x) = 36

Determinación del máximo de una función

De las definiciones y resultados obtenidos se derivan tres métodos para la determinación de los extremos de una función.

1. Análisis de la función a derecha e izquierda de cada posible extremo

Si a es un punto en el que f'(a) = 0, se toma un número h suficientemente pequeño y se calculan los valores f(a + h) y f(a - h):

a) Si los dos son menores que f(a), hay un máximo en a

b) Si ambos son mayores que f(a), en a hay un mínimo

c) Si uno de ellos es mayor que f(a) y el otro menor, no hay extremo

Ejemplo de determinación de los extremos de una función

Ejemplo nº 1

Encontrar los extremos de la función y = x²

Solución

Puesto que la ecuación y' = 2·x = 0 tiene como solución x = 0, de haber algún extremo éste se encuentra en el punto (0, 0).

Tomando por ejemplo, h = ⅛

f(0 + ⅛) = 1/64 > f(0) = 0, y f(0 - ⅛) = 1/64 > f(0) = 0

Por tanto en el punto (0, 0) hay un mínimo.

Ejemplo nº 2

Hallar, si existen, los extremos de la función y = x³

Solución

La solución de y' = 3 x² = 0 es x = 0

Tomando h = ¼

f(0 + ¼) = (¼)³ = 1/64 > f(0) = 0

y

f(0 - ¼) = -(¼)³ = -1/64 < f(0) = 0

Se concluye que la función y = f(x) = x³ no tiene extremos relativos.

2. Análisis de la derivada a derecha e izquierda del posible extremo

Si a es un punto en el que f'(a) = 0, eligiendo un número h próximo a cero, puede ocurrir:

a) Si f'(a - h) es negativo y f'(a + h) es positivo, en a hay un mínimo.
Obsérvese que a la izquierda de un mínimo las tangentes a la curva tienen pendiente negativa y a la derecha tienen pendiente positiva

b) Si f'(a - h) es positivo y f'(a + h) es negativo, en a hay un máximo.
La explicación de este criterio se obtiene mediante un razonamiento análogo al anterior

c) Si f'(a - h) y f'(a + h) tienen el mismo signo, positivo o negativo, no hay extremo en el punto a

Ejemplo de determinación de los extremos de una función

Ejemplo nº 1

Determinar los extremos de la función y = f(x) = 1/(1 + x²)

Solución

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

y' = [0·(1 + x²) - 1·2·x]/[(1 + x²)²] = -2·x/(1 + x²)² = 0

Puesto que una fracción es cero cuando su numerador es cero,

-2·x = 0 ⟶ x = 0

Para un h suficientemente pequeño (ya sin especificar como en el caso anterior):

f'(0 - h) = f'(-h) = [-2·(-h)]/[(1 + h²)²] > 0, (el numerador y el denominador son positivos).

f'(0 + h) = f'(h) = (-2·h)/[(1 + h²)²] < 0, (numerador y denominador tienen signos distintos).

Se observa que la derivada pasa, en un entorno del punto de abscisa 0, de ser positiva a ser negativa. Se deduce, pues, que en este punto hay un máximo relativo.

Como para x = 0, y = 1, el máximo de esta función está en el punto (0, 1).

3. Análisis de la derivada segunda

Si f(x) es una función derivable en un entorno de a, (a - ε, a + ε) y f'(a) = 0,

a) Si f"(a) > 0, la función tiene un mínimo en a

b) Si f"(a) < 0, la función tiene un máximo en a

• Demostración:

a)

Por ser f"(a) > 0, la función f'(x) es estrictamente creciente en a (primera propiedad de funciones derivables).

Por definición, f'(x) < f'(a) = 0 para cualquier x de (a - ε, a), y f'(x) > f'(a) = 0 para cualquier x de (a, a + ε)

De f"(x) < 0 en (a - ε, a) se deduce (por la segunda propiedad de funciones derivables) que la función f(x) es estrictamente decreciente en cada punto de (a - ε, a), es decir, es estrictamente decreciente en (a - ε, a). Por tanto,

f(x) > f(a) para todo x de (a - ε, a).

Análogamente, y por la misma razón, de f'(x) > 0 en (a, a + ε) se infiere que la función f(x) es estrictamente creciente en (a, a + ε). En consecuencia, f(x) > f(a) para cualquier x de (a, a + ε)

Lo que quiere decir que en a hay un mínimo relativo.

b)

Se probaría análogamente al caso (a).

Ejemplo de cálculo de máximos y mínimos

Ejemplo nº 1

Determinar los máximos y mínimos de la función y = f(x) = 2·x³ + 3 x² - 12·x

Solución

Se calcula y' y se iguala a cero, y' = 6·x² + 6·x - 12 = 0

La ecuación 6·x² + 6·x - 12 = 0 tiene por raíces 1 y - 2.

Se calcula la segunda derivada f"(x) = 12·x + 6

Para x = 1, f"(1) = 12 + 6 = 18 > 0. En x = 1, (1, -7), hay un mínimo.

Para x = -2, f"(-2) = 12·(-2) + 6 = -18 < 0. En x = -2, (-2, 20), hay un máximo.

Ejemplo nº 2

Dibujar la gráfica de la función: f(x) = 1/(1 + x²)

Solución

Para cualquier valor de x, el denominador 1 + x² > 0, es decir, no se anula. Por tanto, la función está definida para todo número real x. Dicho de otra forma, su dominio de definición es toda la recta real.

La función es siempre positiva cualquiera que sea el valor de x, por tanto su gráfica quedará por encima del eje de abscisas.

Posee, según se ha estudiado ya, un máximo en el punto (0, 1).

Puesto que f(1) = f(-1) = ½; f(2) = f(-2) = ⅕; y, en general, f(x) = f(-x), basta estudiar la gráfica en el primer cuadrante, dibujar la curva y completar su trazado en el segundo cuadrante por simetría con respecto al primero.

Cuando x ⟶ ∞, 1/(1 + x²) ⟶ 0 por lo que en el infinito la curva tiende a unirse al eje de abscisas (aunque nunca la toca).

Si x > 0, y' = -2·x/(1 + x²)² < 0, por lo que la función es decreciente en [0, + ∞).

Si x < 0, y' > 0 y la función es creciente en (-∞, 0].

Con todos estos datos el trazado aproximado de la curva es:

La gráfica de la función y = 1/(1 + x²), con los datos de que se disponía, muy bien podría haberse dibujado de cualquiera de estas formas.

Esto pone de manifiesto que se necesita más información para representar con mayor exactitud una curva.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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