Construcción de curvas (segunda parte)

Concavidad y convexidad

Una función f(x) no lineal se dice que es convexa en un intervalo si f"(x) ≥ 0 en todo punto de dicho intervalo. Por la primera propiedad de las funciones derivables, esto significa que f'(x) es una función creciente en ese intervalo. Basta recordar el significado de la derivada para concluir que las pendientes de las tangentes a la curva en los puntos de abscisa del citado intervalo aumentan según se avanza de izquierda a derecha, por el eje de abscisas.

Es claro que en una función convexa las tangentes a la curva quedan por debajo de ésta.

Una función f(x) se dice que es cóncava en un intervalo si f"(x) ≤ 0 en todo punto de él. Por la segunda propiedad de las funciones derivables, es tanto como decir que la función f'(x) es decreciente, o lo que es equivalente, las pendientes de las tangentes a la curva disminuyen al recorrer de izquierda a derecha los puntos de abscisa del intervalo considerado.

En una tal función las tangentes a la curva quedan por encima de ésta.

La gráfica de una función f(x) tiene un punto de inflexión en un punto de abscisa a, si en el punto (a, f(a)) la curva pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.

¿Cómo se encuentran los puntos de inflexión?

Puesto que una función es convexa cuando f"(x) ≥ 0 y cóncava si f"(x) ≤ 0, y el punto de inflexión separa una concavidad de una convexidad, en él la segunda derivada, si existe, necesariamente ha de ser nula. Por tanto, si en a hay un punto de inflexión, f"(a) = 0.

Sin embargo, hay puntos en los que la derivada segunda es cero sin que existan puntos de inflexión en ellos.

Determinación de puntos de inflexión

1) Los posibles puntos de inflexión de una función f(x) deben buscarse entre las soluciones de la ecuación f"(x) = 0

2) Si a es una de estas soluciones, hay que comprobar que separa un tramo de curva cóncavo de otro convexo; para ello se toma un número h suficientemente pequeño y se comprueba que f"(a + h) y f"(a - h) tienen signos distintos, todo lo cual indica que a un lado de a la curva es convexa y al otro cóncava

3) Por el contrario, si f"(a + h) y f"(a - h) tienen el mismo signo, la curva es totalmente cóncava o totalmente convexa en un entorno de a y prueba la no existencia de puntos de inflexión

La tangente a una curva en un punto de inflexión corta a ésta, ya que en la parte cóncava la tangente queda por encima, mientras que en la convexa queda por debajo de la curva.

Ejemplo: cálculo de puntos de inflexión

Encontrar, si los tiene, los puntos de inflexión de la curva y = 1/(1 + x²)

Solución

Ya se calculó f'(x) = -2·x/(1 + x²)²

f"(x) = [-2·(1 + x²)² + 2·x·2·(1 + x²)·2·x]/(1 + x²)⁴

f"(x) = (6·x² - 2)/(1 + x²)³

f"(x) = 2·(3·x² - 1)/(1 + x²)³

Igualando a cero la segunda derivada y teniendo en cuenta que una fracción es cero cuando su numerador es cero,

2·(3·x² - 1) = 0 ⇒ 3·x² - 1 = 0 ⇒ x² = ⅓ ⇒ x = ± √⅓

Puesto que el denominador es positivo, f"(x) es positivo cuando el numerador sea positivo, y negativo si el numerador es negativo.

Sustituyendo x por √⅓ + h,

2·[3·(√⅓ + h)² - 1] = 2·[3·(⅓ + 2·h/√3 + h²) - 1] = 2·(6·h/√3 + 3·h²) > 0

Por tanto, f"(√⅓ + h) > 0 y la función es convexa a la derecha de√⅓

Analogamente, sustituyendo x por √⅓ - h,

2·[3·(√⅓ - h)² - 1] = 2·[3·(⅓ - 2·h/√3 + h²) - 1] = 2·h·(3·h - 2·√3) < 0

Pues parah < 1, 3h < 3 y 2√3 ≈ 3,46, por lo que 3 h - 2 √3 < 0

Por consiguiente, f"(√⅓ - h) < 0 y la función es cóncava a la izquierda de √⅓.

Haciendo un estudio parecido para -√⅓ se comprueba que la función es convexa a la izquierda de -√⅓ y cóncava a la derecha de -√⅓.

Con estos datos se puede dibujar la curva con suficiente precisión.

Asíntotas

Dado un punto en el plano de coordenadas (x, y), su distancia al origen de coordenadas viene dado, sin más que aplicar el teorema de Pitágoras, por (x² + y²)^½

Si x o y o ambos a la vez se hacen muy grandes, el número (x² + y²)^½ se hace también muy grande. Dicho en términos más precisos, si x o y o ambos tienden a infinito, (x² + y²)^½ tiende a infinito, lo cual indica que la distancia de dicho punto al origen de coordenadas se hace infinito.

Definición:

Una curva tiene como asíntota una recta, si la distancia de un punto P de la curva a la recta tiende a cero cuando el punto P se aleja indefinidamente del origen de coordenadas recorriendo la curva. En otros términos, puede decirse que una asíntota es una tangente a la curva en el infinito.

Asíntotas paralelas al eje Y o verticales

Cuando:

la asíntota viene dada por la ecuación x = a.

Determinación de asíntotas paralelas al eje Y

Se determinan igualando el denominador de la función a cero y resolviendo la ecuación.

Si la función no viene expresada mediante una fracción, hay que estudiar cuándo:

Por ejemplo, en f(x) = ln x,

Asíntotas paralelas al eje X u horizontales

la asíntota viene dada por y = a.

Asíntotas generales u oblicuas

Son aquellas asíntotas que no son paralelas a ninguno de los ejes.

Aunque no se justificará el cálculo, la ecuación de una asíntota oblicua se obtiene como sigue:

Si la ecuación de una asíntota oblicua es y = m·x + b,

y

Si m = 0, la asíntota resulta ser una asíntota horizontal.

Ejemplo de cálculo de asíntotas

Ejemplo nº 1

Encontrar las asíntotas de la función f(x) = x/(x - 1) y hacer una representación.

Solución

Se iguala el denominador a cero:

x - 1 = 0 ⟶ x = 1, x = 1 es una asíntota.

Si 0 < x < 1, f(x) < 0, y, por lo tanto,

Por tanto, cuando x es positivo y tiende a +∞ o es negativo y tiende a -∞, la ordenada.

y = x/(x - 1) se aproxima mucho a 1.

Construcción de curvas

El dominio de definición de una función; su crecimiento y decrecimiento; el cálculo de máximos, mínimos y puntos de inflexión; el estudio de concavidad y convexidad y el hallazgo de posibles asíntotas, permiten construir con tanta precisión como se desee innumerables curvas.

A los apartados anteriores conviene añadir el estudio de posibles simetrías que, cuando existan, simplificarán notablemente las construcciones de curvas.

Simetrías

Una función se dice que es par si f(x) = f(-x).

Estas funciones son simétricas respecto al eje de ordenadas. Basta, pues, dibujar la curva situada a la derecha de este eje y complementarla a la izquierda por simetría.

Son funciones pares y = x², y = 1/(1 + x²), y = cos x. etc

Una función f(x) es impar si f(-x) = -f(x).

Las gráficas de estas funciones tienen al origen de coordenadas por centro de simetría. La más característica de estas funciones es f(x) = x³. En efecto,

f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x).

Pasos a seguir en la construcción de una curva

1) Dominio de definición de la función

2) Simetrías

3) Puntos de corte con los ejes

4) Asíntotas

5) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

6) Máximos y mínimos

7) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Ejemplo de representación de curvas

Ejemplo nº 1

Representar la curva dada por y = f(x) = (x² - 5·x + 4)/(x - 5)

Solución

1. Dominio de definición

La función está definida para todo valor de x excepto para x = 5, que anula al denominador. En consecuencia, la recta x = 5 es una asíntota vertical.

Las raíces de x² -5·x + 4 = 0 son 1 y 4, por lo que x² - 5·x + 4 = (x - 1)·(x - 4).

Así, y = (x - 1)·(x - 4)/(x - 5). Esta fracción es positiva para cualquier x > 5.

Es decir, y > 0 en (5, +∞)

a) Si x > 1 y x < 4, tanto el numerador como el denominador son negativos, por lo que en este intervalo, (1, 4), y > 0

b) Si x < 1, el numerador es positivo y el denominador es negativo.
Por tanto, y < 0 en (-∞, 1)

c) Si x > 4 y x < 5, el numerador es positivo y el denominador negativo. En consecuencia, y < 0 en (4, 5).
Para x = 1 y x = 4 el numerador se anula y, en consecuencia, y = 0. Así, la curva pasa por los puntos (1, 0) y (4, 0)

Se pueden delimitar ya las zonas por las que pasa la curva:

2. Simetría

La función no es par ni impar:

f(-x) = [(-x)² - 5·(-x) + 4]/[(-x) - 5] = (x² + 5·x + 4)/(-x - 5)

f(-x) ≠ f(x) y f(-x) ≠ -f(x)

3. Puntos de corte con los ejes

Los puntos de la curva que cortan al eje Y tienen abscisa cero, luego imponiendo x = 0, y sustituyendo en la expresión de y,

y = -⅘. La curva pasa por (0, -⅘).

Análogamente, los puntos de la curva situados sobre el eje X tienen ordenada cero

(y = 0). En el apartado anterior se obtuvieron los puntos (1, 0) y (4, 0).

4. Asíntotas

Ya se conoce la asíntota vertical calculada en el primer apartado: x = 5.

Puesto que:

No tiene asíntotas hrizontales.

Asíntota oblicua:

f(x)/x = (x² - 5·x + 4)/(x - 5)·x

Por lo tanto,

En consecuencia, la asíntota oblicua es y = m·x + b = 1·x + 0 = x ⟶ y = x.

5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Derivando la función por la fórmula del cociente,

y' = (x² - 10·x + 21)/(x - 5)²

Como las raíces de x² - 10·x + 21 = 0 son 7 y 3,

y' = (x - 7)·(x - 3)/(x - 5)²

Al ser el denominador de esta fracción positivo, para cualquier valor de x, basta estudiar la variación de los signos en el numerador.

a) Si x > 7, (x - 7)·(x - 3) > 0. En este caso y' > 0 y la función es creciente en (7, +∞)

b) Si x > 3 y x < 7, (x - 7)·(x - 3) < 0; entonces y' < 0 y la función es decreciente

c) Si x < 3, el numerador es positivo, y' > 0 y la función es creciente en (-∞, 3)

6. Máximos y mínimos

Si x = 7 - h, y' < 0. Si x = 7 + h, y' > 0, luego la derivada de la función en el punto 7 pasa de negativa a positiva por lo que en x = 7 hay un mínimo.

De la misma forma, si x = 3 - h, y' < 0; si x = 3 + h, y' < 0, lo que indica que en

x = 3 hay un máximo, ya que la derivada en dicho punto pasa de positiva a negativa.

Para x = 7, f(7) = (7² - 5·7 + 4)/(7 - 5) = 9; el mínimo es (7, 9).

Para x = 3, f(3) = 1; el máximo es (3, 1)

7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Los posibles puntos de inflexión se obtienen de las soluciones de la ecuación

f"(x) = 8/(x - 5)³ = 0,

Una fracción es cero cuando su numerador es cero.

Puesto que el numerador es 8 y no puede valer nunca cero, la anterior ecuación no tiene solución y la curva no tiene puntos de inflexión.

Si x > 5, (x - 5)·3 es positivo y, por consiguiente, f"(x) > 0 en (5, +∞). y la curva es, en este intervalo, convexa.

Por el contrario, si x < 5, (x - 5)·3 es negativo y f"(x) < 0 en (-∞, 5).

La función es cóncava en el intervalo (5, +∞).

Teniendo en cuenta todos estos resultados, la gráfica de la función es:

Ejemplo nº 2

Dibujar la gráfica de la función y = f(x) = 2·x³ - 3 x²

Solución

1. Dominio de definición

Esta función está definida para todo valor de x

2. Simetrías

No es una función par ni impar, pues f(-x) = 2·(-x)³ - 3·(-x)² = -2·x³ - 3·x²

f(-x) ≠ f(x) y f(-x) ≠ -f(x)

3. Puntos de corte con los ejes

y = x²·(2·x - 3).

Si y = 0, x²(2·x - 3) = 0, obteniéndose como soluciones x = 0 y x = 3/2.

La curva pasa por los puntos (0, 0) y (3/2, 0).

Si x = 0, y = 0, punto que ya se tenía

4. Asíntotas

Al no tener denominador no tiene asíntotas verticales

Puesto que,

No tiene asíntotas horizontales.

No tiene asíntotas oblicuas, pues no se obtiene ningún valor de la pendiente.

5. Crecimiento y decrecimiento

y' = f'(x) = 6 x² - 6·x = 6·x·(x - 1)

Si x > 1, y' > 0 y la función es creciente ⟶ creciente en (1, ∞).

Si x > 0 pero x < 1, y' < 0 y la función es decreciente ⟶ decreciente en (0, 1).

Por último, si x < 0, y' > 0 y la función es creciente ⟶ creciente en (-∞,0).

6. Máximos y mínimos

Resolviendo la ecuación f'(x) = 6·x·(x - 1) = 0, se obtienen como soluciones x = 0 y x = 1.

La derivada segunda es f"(x) = 12·x - 6.

f"(0) = -6 < 0 por lo que en x = 0 hay un máximo.

f"(1) = 12·1 - 6 = 6 > 0 y en x = 1 hay un mínimo.

Para x = 0, y = f(0) = 0, y el máximo es (0, 0).

Para x = 1, y = f(1) = 2·1³ - 3·1² = -1; el mínimo es (1, - 1).

7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Igualando a cero la segunda derivada, f"(x) = 12·x - 6 = 0, se obtiene la solución

x = ½

Hay que comprobar si es o no punto de inflexión.

f"(½ + h) = 12·(½ + h) - 6 = 6 + 12·h - 6 = 12·h > 0 (h > 0)

f"(½ - h) = 12·(½ - h) - 6 = 6 - 12·h - 6 = -12·h < 0 (h > 0)

Como la derivada segunda es positiva a la derecha de ½ y negativa a la izquierda, x = ½ hay un punto de inflexión.

Para x = ½, f½ = 2·⅛ - 3·¼ = -½. El punto de inflexión es (½, -½)

Puesto que f"(x) = 12·x - 6 = 6·(2·x - 1), f"(x) es positiva si lo es 2·x - 1 y negativa cuando lo sea 2·x - 1.

2·x - 1 es positivo para x > ½. Por tanto, si x > ½, f"(x) > 0 y la función es convexa.

2·x - 1 es negativo siempre que x < ½. En este caso f"(x) < 0 y la función es concava.

8. Después de este estudio puede dibujarse la curva.

Ejemplo nº 3

Dibujar la gráfica de la función y = f(x) = (x + 2)·(x - 1)²

Solución

1. Dominio de definición

La función está definida para todo valor de x.

2. Simetrías

f(-x) = (-x + 2)·(-x - 1)² = (-x + 2)·(x² + 2·x + 1) = -x³ + 3·x + 2

f(x) = (x + 2)·(x² - 2·x + 1) = x³ - 3·x + 2

-f(x) = -x³ + 3·x - 2

f(x) ≠ f(-x). La curva no es par. f(-x) ≠ - f(x). La curva no es impar.

3. Puntos de corte con los ejes

Si x = 0, y = (0 + 2)·(0 - 1)² = 2. La curva pasa por el punto (0, 2).

La curva pasa por (-2, 0) y por (1, 0)

4. Asíntotas

No tiene asíntotas verticales.

Como:

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas.

5. Crecimiento y decrecimiento

y' = 3·x² - 3 = 3·(x² - 1)

Para que y' > 0 debe ser x² -1 > 0

Para que y' < 0 debe ser x² -1 < 0

Si x² - 1 > 0, o lo que es lo mismo,

La curva es creciente en (-∞, -1) y en (1, -∞)

La curva es decreciente en (-1,1).

6. Máximos y mínimos

f'(x) = 3·x² - 3 = 0 ⇒ 3·x² = 3 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1

f"(x) = 6·x.

Si x = 1, f"(1) = 6·1 = 6 > 0, hay un mínimo en el punto (1, 0).

Si x = -1, f"(- 1) = 6·(- 1) = -6 < 0, hay un máximo en el punto (-1, 4).

7. Concavidad y convexidad

La función es convexa en (0, +∞)

La función es cóncava en (-∞, 0)

8. Puntos de inflexión

f"(x) = 6·x = 0 ⇒ x = 0

f"(0 + h) = f"(h) = 6·h > 0

f"(0 - h) = f"(-h) = 6·(- h) = -6·h < 0

La curva pasa de cóncava a convexa: en x = 0 hay punto de inflexión.

Si x = 0, f(x) = 2. El punto de inflexión es (0, 2).

Ejemplos de optimización de funciones

Ejemplo nº 1

La determinación de extremos de una función tiene otras aplicaciones que van más allá del trazado de curvas.

De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio 3 dm, encontrar el de mayor volumen.

Solución

El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura:

V = π·r²·h

Siendo r el radio de la base del cilindro.

Por el teorema de Pitágoras,

r² = 3² - (h/2)² = 9 - h²/4

Sustituyendo en la expresión de V.

V = π·(9 - h²/4)·h = π·(9·h - h³/4)

Así, V es una función de h. Para calcular las medidas del cilindro de mayor volumen hay que encontrar el máximo de la función V(h).

Derivando respecto a h e igualando a cero,

V' = π·(9 - 3·h²/4) = 0 ⇒ 3·h²/4 = 9 ⇒ 3·h² = 36 ⇒ h² = 12 ⇒ h = √12 ⇒ h = 2·√3

Hay que comprobar que para este valor de h, V alcanza su valor máximo.

En efecto, Vf"(h) = -π·(6/4)·h, y Vf"(2·√3) = -π·(6/4)·2·√3 < 0, luego V es máximo cuando h = 2·√3

Llevando este valor a la expresión de r²,

r² = 9 - 4·¾ = 6

Luego V = π·6·2·√3 = 12·π·√3, V = 12·π·√3 dm³

Ejemplo nº 2

Hallar las dimensiones mínimas que debe tener una hoja de papel para contener una superficie útil de 54 cm² con unos márgenes de 1,5 cm a derecha e izquierda y de 1 cm por arriba y por abajo.

Solución

Llamando x e y a las dimensiones del total de la hoja, y a y b a las dimensiones de la superficie útil,

S = x·y

a·b = 54

Despejando b,

b = 54/a.

Por otro lado x = 1,5 + a + 1,5 = 3 + a, y = 1 + 1 + 54/a = 2 + 54/a

Llevando estos valores de x e y a S, S = (3 + a)·(2·a + 54)/a

Operando,

S(a) = 30 + 162/a + 2·a

Así, S es una función de a y se puede escribir S(a) = 30 + 162/a + 2·a

El problema se reduce a calcular el valor de a que hace S(a) mínimo; por tanto hay que encontrar el mínimo de S(a).

Derivando respecto a a e igualando a cero,

S' = 162/a² + 2 = 0 ⇒ 2 = 162/a² ⇒ 2·a² = 162 ⇒ a² = 81 ⇒ a = 9

Para comprobar que en a = 9 hay un mínimo se calcula la derivada segunda de S:

S" = 324·a/a⁴ = 324/a³

S"(9) = 324/9³ por lo que en a = 9 hay, un mínimo.

Por último, si a = 9 cm, b = 54/9 cm, x = (3 + 9) cm = 12 cm,

y = (2·9 + 54)/9 cm = 8 cm

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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¿Cuál es la derivada de una curva?