Problema nº 1-d de derivadas por definición en una variable - TP01
Enunciado del ejercicio nº 1-d
Calcular la siguiente derivada aplicando la definición en el punto que se indica.
f(x) = x - √2 - x, en x = 1
Desarrollo
Fórmulas:
| f'(x) = | lim h ⟶ 0 | f(x₀ + h) - f(x₀) |
| h |
Solución
f(x) = x - √2 - x, en x = 1
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | f(1 + h) - f(1) |
| h |
Hallamos los valores de la función para f(1) y f(1 + h):
f(1 + h) = (1 + h) - √2 - (1 + h)
f(1 + h) = 1 + h - √2 - 1 - h
f(1 + h) = 1 + h - √1 - h
f(1) = 1 - √2 - 1
f(1) = 1 - √1
f(1) = 1 - 1 = 0
Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | 1 + h - √1 - h - 0 |
| h |
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | 1 + h - √1 - h |
| h |
Multiplicamos numerador y denominador por (1 + h) + √1 - h (conjugado del numerador)
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | [(1 + h) - √1 - h]·[(1 + h) + √1 - h] |
| h·[(1 + h) + √1 - h] |
El numerador es una diferencia de los cuadrados:
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | (1 + h)² - (√1 - h)² |
| h·(1 + h + √1 - h) |
Resolvemos:
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | 1 + 2·h + h² - (1 - h) |
| h·(1 + h + √1 - h) |
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | 1 + 2·h + h² - 1 + h |
| h·(1 + h + √1 - h) |
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | 3·h + h² |
| h·(1 + h + √1 - h) |
En el numerador extraemos factor común "h":
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | h·(3 + h) |
| h·(1 + h + √1 - h) |
Simplificamos:
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | 3 + h |
| 1 + h + √1 - h |
Salvada la indeterminación resolvemos el límite:
| f'(1) = | 3 + 0 |
| 1 + 0 + √1 - 0 |
| f'(1) = | 3 |
| 1 + √1 |
| f'(1) = | 3 |
| 1 + 1 |
| f'(1) = | 3 |
| 2 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo derivar funciones por definición