Problema nº 1-a de derivadas de funciones compuestas en una variable - TP05

Enunciado del ejercicio nº 1-a

Derivar la siguiente función compuesta.

f(x) = ⅛·ln	1 - cos 2·x
	1 + cos 2·x

f(x) = ⅛·ln	1 - cos 2·x
	1 + cos 2·x

Expresamos la función como "función de función":

u = 2·x

v = cos u

w = ln r

"r" es un cociente:

r =	1 - v
	1 + v

s = 1 - v

t = 1 + v

Luego:

u' = 2

v' = -sen u

w' =	1
	r

Aplicamos la fórmula para derivar cocientes:

r =	s	⇒ r' =	s'·t - s·t'
	t		t²

s' = -1

t' = 1

Planteamos la derivada del cociente:

r' =	-1·(1 + v) - (1 - v)·1
	(1 + v)²

r' =	-1 - v - 1 + v
	(1 + v)²

r' =	-2
	(1 + v)²

f'(x) = w'·v'·u'·r'

Derivamos:

f'(x) = ⅛·	1 + cos 2·x	.(-sen 2·x)·	-4
	1 - cos 2·x		(1 + cos 2·x)²

f'(x) = ⅛·	1 + cos 2·x	.	4·sen 2·x
	1 - cos 2·x		(1 + cos 2·x)²

Simplificamos:

f'(x) = ½·	1	.	sen 2·x
	1 - cos 2·x		1 + cos 2·x

f'(x) = ½·	sen 2·x
	1 - cos² 2·x

1 - cos² 2·x = sen² 2·x

Reemplazamos:

f'(x) = ½·	sen 2·x
	sen² 2·x

f'(x) = ½·	1
	sen 2·x

f'(x) = ½·cosec 2·x

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo derivar funciones compuestas